11.1.6. ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Предполагается, что функция плотности для принадлежит семейству плотностей вида

Это семейство входит в экспоненциальное семейство плотностей [см. раздел 3.4.2]. Плотности семейства зависят от двух параметров: «естественного» параметра в и «мешающего» параметра масштаба от некоторых функций . Приведем несколько известных примеров:

нормальная плотность:

Рис. 11.1.2. Параметрическая структура для экспоненциального семейства

пуассоновское распределение:

экспоненциальная плотность:

биномиальное распределение:

Значение экспоненциального семейства определяется двумя факторами. Оно включает важнейшие плотности, используемые в практических приложениях, такие, как перечисленные выше, и является достаточно общим, чтобы служить основой для теоретических рассмотрений. Классический регрессионный и дисперсионный анализ, а также анализ таблиц сопряженностей построены именно на этом. Для каждого из них линейный предиктор есть . В регрессионном анализе х являются непрерывными, в то время как в дисперсионном анализе и анализе таблиц сопряженностей они представляют собой индикаторные (бинарные) переменные. В регрессионном и дисперсионном анализе плотность нормальна, а функция связи между тождественна. В анализе таблиц сопряженностей плотность пуассоновская, а функция связи логарифмическая.

Структура отношения между этими параметрами для экспоненциального семейства функций представлена в виде диаграммы на рис. 11.1.2.

Отношения между в и и между определяются взаимно однозначно, первое — с помощью функции плотности, второе — с помощью функции связи. Дисперсия зависимой переменной зависит от ожидаемого значения и параметра масштаба если последний присутствует.