18.10.2. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ

Один из распространенных методов основан на том, что если имеется много независимых реализаций ряда, то можно усреднить их выборочные спектры и получить состоятельную оценку. Для одной реализации в соответствии с этим методом необходимо разбить ее на К подрядов длины скажем Выборочные спектры процессов затем усредняют. В предположении, что автокорреляция ряда достаточно быстро убывает, так чтобы можно было считать подряды независимыми, итоговая оценка на частоте обозначается и эти величины независимы со средним и дисперсией если только достаточно велико — на самом деле здесь имеется смещение порядка . При фиксированном приходится искать баланс между выбором большого и малого К, что дает больше значений частот и тем самым меньшее смещение, но приводит к росту дисперсии или же к обратной ситуации при малом и большом К. Эта процедура была применена к первым 140 точкам первой разности ряда продолжительности дня, использовались 10 подсерий длины 14, результаты показаны на рис. 18.10.1, а). Главный недостаток — провал до нуля в точке вызванный отдельной корректировкой среднего значения в каждом подряду. Этого можно было избежать, сделав коррекцию среднего значения лишь по всему ряду целиком.

Второй метод, в настоящее время очень популярный, состоит в следующем. Отправляясь от выборочного спектра построенного по строят оценки для более глубокого разбиения частот путем усреднения значений, ближайших к каждой из этих точек, например,

где . Статистические свойства этих оценок такие же, как и Ясно, что должно лишь слегка меняться в каждом частотном интервале усреднения, иначе появится заметное смещение, в частности в пиках или по всему спектру. Взвешивание с весами, спадающими на краях, но по чуть более широкому частотному диапазону, вообще говоря, кажется более привлекательным. На практике выборочный спектр вычисляется для разбиения частот, значительно более тонкого, чем и усреднение (18.10.1) модифицируется так, чтобы учесть все эти значения, превращаясь фактически в интегральное усреднение в частотном интервале длины с центром в Результат для разности ряда продолжительности дня снова с показан на рис. 18.10.1, б). Вычисления снова были

(кликните для просмотра скана)

проведены для более тонкого разбиения частот хотя следует принимать во внимание, что оценки на промежуточных частотах сильно коррелированы с оценками в окрестностях частот . На рис. 18.10.1, в) показаны более гладкие результаты, полученные с применением убывающих по краям весов.

Классический метод вычисления оценок спектральной плотности тесно связан с предыдущими двумя и направлен на упрощение вычислений. Для описания метода заметим, во-первых, что математическое ожидание оценок, построенных по первому методу через выборочные спектры подрядов, можно более точно вычислить, с точностью до смещения на малых выборках, в виде

Тем самым слагаемые более высоких порядков «обрезаются» с помощью множителя и исключаются при к т. Близкий результат справедлив для усреднения или сглаживающей процедуры (18.10.1) во втором методе. Таким образом, более общий класс спектральных оценок можно получить, используя совокупность весов называемых временным окном, по формуле

Для непосредственных вычислений по этой формуле удобно использовать веса, равные нулю после точки обрезания М. Такую оценку можно представить и как свертку выборочного спектра с весовой функцией, называемой частотным окном и равной

так что

Эта форма удобна для исследования статистических свойств оценки. В практических рассмотрениях стремятся для любого фиксированного М к получению концентрированного унимодального положительного окна Предлагались различные профили окна, для которых временное окно имеет вид

где функция определена в интервале Меняя М, можно управлять уровнем сглаживания. При этом число значений частоты, для которых оценки спектра приблизительно независимы, будет пропорционально М, а дисперсия каждой оценки — пропорциональна Например, для окна Парзена, задаваемого формулой

справедливо соотношение

Выбирая для этого окна получаем спектральную оценку для первой разнрсти ряда продолжительности дня с дисперсией, очень близкой к дисперсии в предыдущих методах. Эта оценка показана на рис. 18.10.1, г), и она очень близка к кривой на рис. 18.10.1, в).