15.4.6. ПРИНЦИП ПРАВДОПОДОБИЯ

Предположим, что исследование состоит из последовательности экспериментов, для каждого из которых имеет шанс, равный , закончиться успешно, и закончиться неудачно. Далее предположим, стало известно, что проведено всего экспериментов и из них у экспериментов закончились успешно.

Если данные обозначены как то остается выяснить, достаточна ли эта информация, чтобы сформулировать вероятностную модель, соотносящую х с в. Ответ на этот вопрос, конечно, будет отрицательный, так как ничего не было сказано о способе проведения

эксперимента (или получения выборки). Например, если бы значение было фиксировано заранее и просто наблюдалось бы у, то мы имели бы дело со стандартным биномиальным распределением вероятностей вида

С другой стороны, если предварительно фиксировалось значение у, а затем наблюдалось, каким будет (т. е. эксперимент продолжался, пока не было получено у успешных исходов, и тогда замечалось, сколько раз, пришлось его повторять), то этот случай будет описываться отрицательным биномиальным распределением вида

Существует, естественно, много других правил формирования выборки, которые могли бы использоваться. Например, «эксперимент продолжается, пока не наступит время второго завтрака, а затем прекращается» (не фиксируется ни ни Но обстоятельство, к которому хотелось бы привлечь внимание, вполне можно проиллюстрировать, пользуясь только биномиальным и отрицательным биномиальным распределением.

Основной вопрос состоит в следующем: можно ли сделать стандартные выводы относительно , когда заданы только данные наблюдений, но ничего не сказано о порядке получения выборки? Например, можно ли найти точечные или интервальные оценки? При байесовском подходе можно получить выводы, не зная, какое из распределений, биномиальное или отрицательное биномиальное, является подходящим, в то время как многие процедуры небайесовского типа не позволяют этого сделать.

Чтобы это показать, примем предположение, что на априорные представления относительно не влияет вид процедуры получения выборки и можно определить вид независимо от вида правдоподобия.

При допущении о биномиальном распределении [см. пример 3.4.6, а)] по теореме Байеса имеем

так как не содержит , и, таким образом,

При допущении отрицательного биномиального распределения [см. пример 3.4.6, б)] с помощью теоремы Байеса получим

Так как не содержит в, то

Таким образом, апостериорная плотность в обоих случаях имеет одинаковый вид.

Однако если рассмотреть небайесовские процедуры, такие, как получение несмещенной оценки с минимальной дисперсией (НОМД) [см. раздел 3.5.2], доверительных интервалов [см. гл. 4] или критериев значимости [см. гл. 5], то точный вид этих оценок будет различным в соответствии со сделанным предположением о виде распределения (биномиальное или отрицательное биномиальное). Например, если предполагается биномиальное распределение, оценка будет НОМД, в то время как при допущении об отрицательном биномиальном распределении НОМД будет иметь вид [см. пример 3.4.8].

Пример с использованием биномиального и отрицательного биномиального распределений является частным случаем следующей ситуации. Имеются две различные вероятностные модели , удовлетворяющие условиям

причем области изменения возможных значений них различны. Части выражения для плотности, зависящие от в, одинаковы в обоих случаях. Теорема Байеса, записанная в виде пропорции, позволяет увидеть, что при заданных будет иметь одинаковый вид в обоих случаях, так как для ее выражения не требуется в явном виде.

Другая интерпретация этой ситуации возникнет, если отметить, что в принимаются во внимание только те значения х, которые наблюдались в действительности, в то время как выражение для отражает всю область возможных изменений х, которые могли бы быть получены.

Согласно принципу правдоподобия [см. Сох and Hinkley (1974) — С] предполагается, что выводы относительно в должны основываться только на без учета Можно сказать, что байесовские процедуры (а также некоторые другие, такие, как метод максимального правдоподобия) подчиняются принципу правдоподобия; в процедурах, аналогичных методу НОМД, принцип правдоподобия нарушается. Аргументы в пользу этого принципа и против него обсуждаются в работе [Barnett(1982) - С].