20.6 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ И ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ

20.6.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В предыдущих разделах описывалось применение фильтра Калмана к линейным и нелинейным системам. При этом предполагались известными как структурная форма модели в фазовом пространстве, так и ее параметры. Однако в большинстве практических задач возникает одна из следующих ситуаций: а) структура модели известна, но неизвестны параметры; б) и структура модели, и параметры неизвестны. Для иллюстрации можно привести пример из раздела 20.1, где описывались различные модели, в частности, модель прогноза в реальном времени водного расхода в реке по данным об осадках. В бассейне реки движение воды по земной поверхности, в почве, в водоносных горизонтах, в руслах ручьев подчиняется определенным физическим законам, основанным на сохранении массы и количества движения. Для описания указанных процессов можно выписать замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Поскольку ее аналитическое решение найти не удается, эта система приближенно может быть решена с помощью конечноразностных схем [см. Beven and O’Connell (1982)]. Сложность вычислений при этом настолько велика, что хотя подобные модели и могут быть записаны в виде моделей в фазовом пространстве, высокая размерность вектора состояний и имеющиеся вычислительные средства делают этот подход совершенно непригодным на практике. Процессы, в результате которых осадки превращаются в водный расход, можно усреднять по пространственным переменным. Для усредненных процессов удается построить модели квазифизического типа, основанные на нелинейных уравнениях в частных производных и с определенной степенью адекватности описывающие превращение осадков в расход. Подобного рода модели обычно выводятся из уравнения неразрывности и эмпирического уравнения, связывающего расход с количеством воды, накопленной в бассейне реки, вид которого устанавливается исходя из наблюдаемого поведения расхода. Эти модели могут быть сформулированы как модели в фазовом пространстве [см. (20.5.7) и (20.5.8)]. При этом структура модели оказывается заданной априори, однако ее параметры неизвестны и их необходимо оценить по имеющимся данным. Для этой цели применяются разнообразные методы, о чем пойдет речь в разделе 20.6.3, п. б). Пример исследования, иллюстрирующий указанный подход, описан в разделе 20.7.2.

Если о структуре модели, связывающей осадки с водным расходом, заранее ничего не предполагается, то можно применять процедуры идентификации модели, основанные на изучении структуры выборочной ковариации выхода системы (т. е. водного расхода). С

помощью этих процедур можно подобрать размерность матриц и в представлении модели в фазовом пространстве:

а также их структуру. Если указанный подход применяется при установлении связи между осадками и водным расходом в реке, то линейная модель в фазовом пространстве может иметь, например, следующий вид:

(см. скан)

В приведенной выше формулировке и осадки, и расход воды представлены системой линейных разностных уравнений. Следовательно, фильтр Калмана может применяться для удаления ошибок измерений в обеих переменных, а предсказание водного расхода будет основано на фильтрационной оценке количества осадков. Ограниченность такого рода моделей заключается в том, что они представляют нелинейный отклик водного расхода в зависимости от осадков линейной функцией. Однако указанная форма модели в фазовом пространстве может быть сохранена, если считать отклик кусочно-линейным, и этот прием позволяет использовать процедуры идентификации и оценивания параметров, разработанные для линейного случая.

Пример применения указанного подхода приводится в разделе 20.7.1; методы идентификации структуры модели и ее параметров описываются в разделах 20.6.2 и 20.6.3.

Теоретически при идентификации структуры модели в фазовом пространстве и оценивании ее параметров должны выполняться некоторые условия. Например, теоремы, касающиеся поведения фильтра Калмана, основаны на предположении, что истинная модель наблюдаема и устойчива. Именно от этих условий зависит, что можно выиграть от фильтрации данных. Как нетрудно понять, указанные условия в значительной степени определяются структурой истинной модели системы. Понятие наблюдаемости системы связано с тем, можно ли восстановить состояния из наблюдений. Условие наблюдаемости выполняется, если матрица

имеет ранг , где — размерность вектора состояния. Управляемость связана с условиями, при которых можно управлять состоянием детерминированной линейной динамической системы, т. е. когда переменная управления включена в уравнение системы. Состоянием можно управлять, если матрица

имеет ранг

Понятие устойчивости относится к поведению оценок состояния, когда влияние измерений подавлено. Предположим, что поведение системы описывается дифференциальным уравнением первого порядка (20.5.2). Тогда система называется асимптотически устойчивой, если при для любого начального условия Это весьма неформальное определение устойчивости. Теоретические условия, гарантирующие устойчивость, гораздо более ограничительны и во многих практических приложениях они не выполняются, хотя фильтры Калмана, построенные обычным образом, работают удовлетворительно. Этот факт связан с тем обстоятельством, что решение системы дифференциальных уравнений часто приближается к нулю на конечном интервале, где и производится исследование, хотя асимптотической устойчивости в строгом смысле определения может и не быть. Э. Джелб [см. Gelb (1974)] предположил, что ключевыми причинами, вызывающими неустойчивость, являются ошибки моделирование и схемной реализации. В его работе по этому поводу приводится подробная дискуссия.

Для некоторых систем представляет интерес вопрос: в достаточной ли степени входной сигнал возмущает систему, чтобы идентификация модели и оценивание параметров оказались возможными? В гидрологическом моделировании система может быть возмущена только

спорадически в те моменты, когда происходит выпадение осадков, поэтому некоторые компоненты модели (или параметры) иногда оценить нельзя. Особенно это относится к имитационным моделям с большим числом параметров. В алгоритмах оценивания, как правило, предполагается непрерывное и существенное возмущение системы, в противном случае в оценках параметров может быть большой разброс.