Главная > Справочник по прикладной статистике. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

18.5.1. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ (АКФ)

Общим для всего раздела является предположение о том, что временной ряд стационарен, т. е. порождающий его механизм не меняется во времени, а соответствующий процесс достиг статистического равновесия. На практике наиболее интересными статистиками являются моменты первого и второго порядков [см. раздел 2.1.2], так что мы накладываем на временной ряд следующие условия:

1) математическое ожидание и дисперсия ряда [см. II, гл. 8 и 9] постоянны во времени:

2) ковариация между любыми двумя членами ряда [см. II, раздел 9.6.1] зависит только от расстояния во времени между этими наблюдениями, или от разности между их номерами:

По определению Автокорреляционная функция (АКФ) определяется формулой

[см. II, раздел 22.2]. Полезно рассматривать АКФ как бесконечную в обе стороны последовательность, полагая .

Для выборочных данных обычно используют выборочное среднее и выборочную дисперсию

и выборочные автоковариацию и автокорреляцию, определяемые формулами

где полагают [см. раздел 2.1.2, п. б), в]. Их следует рассматривать как выборочные описательные статистики. В них усреднение осуществляется по времени, а не по независимым реализациям процесса. Тем самым не обязательно окажется наилучшей оценкой для если предположить, что ряд описывается некоторой параметрической моделью. Однако при должном понимании их недостатков эти выборочные статистики оказываются наиболее полезными. Чтобы установить их свойства, необходимо сделать дополнительные предположения о распределении Приводимые ниже результаты выполняются для гауссовских рядов — это означает, что все частные и совместные распределения [см. II, раздел 13.1] членов временного ряда должны быть нормальными. Будет предполагаться также, что сумма конечна. Это предположение не может оказаться слишком жестким, так как для подавляющего большинства практических задач оказывается пренебрежимо малым для значений к, превышающих некоторую (возможно, большую) величину. Если, однако, из ряда не удалось исключить какую-либо детерминированную компоненту, например, синусоидальную волну, то выборочные автокорреляции отразят это обстоятельство — они не будут затухать при больших лагах.

Следующие приближенные равенства справедливы при фиксированных к и достаточно больших с ошибкой порядка

Выборочные величины являются, таким образом, состоятельными оценками [см. раздел 3.3.1, п. в)], хотя для малых величина имеет заметное смещение [см. определение 3.3.2]. Польза этих формул ограничена в таких задачах, как построение доверительного интервала для раздел 4.2] или выделение значимых корреляций [см. раздел 5.1], так как они содержат те же самые величины, для которых строится оценка. Для этих целей необходим более осторожный подход типа «бутстреп». Начальной точкой является гипотеза о равенстве для всех и в этом случае стандартная ошибка Значения, не попадающие в интервал следует рассмотреть отдельно. Возьмем в качестве примера показанную на рис. 18.5.1, б) выборочную АКФ ряда первых разностей продолжительности дня, изображенного на рис. 18.5.1, а). Применение операции взятия разности связано с высказанным выше предположением, что этот ряд содержит компоненту типа случайного блуждания. Использовались первые 140 точек ряда, остальные точки мы оставили про запас для сравнения с прогнозом, который мы собираемся построить.

В первую очередь мы замечаем, что для Сам факт, что в этом списке так много значений, означает, что мы занизили величину стандартной ошибки (определение стандартной ошибки см. в разделе 2.1.2, п. в)). Соблюдая осторожность, пересмотрим нашу гипотезу, предположив, что только отличны от нуля, что соответствует двум первым выделяющимся значениям

Теперь воспользуемся формулой (18.5.8), полагая для и беря в качестве оценки для величины Мы получим

Заметим, что вообще при проверке гипотез вида для второе слагаемое в формуле (18.5.8) для пропадает при Используя новые доверительные границы, мы видим смутное свидетельство, возможно, значимого отклонения от нуля величин, отвечающих лагам 29 и 30, для которых автокорреляция имеет порядок 0,29; однако при рассмотрении свыше 40 коэффициентов два выделяющихся значения могут появиться и за счет случайных причин. Поэтому мы сохраняем скептицизм по поводу значимости этих корреляций. Таким образом, наше предположение о том, что лишь отличны от нуля, не противоречит имеющимся данным. Мы увидим далее, что это предположение является слишком жестким и должно быть ослаблено. Тем не менее у нас есть полезное начальное

приближение для подгонки параметрических моделей, которое можно подвергнуть более тщательной проверке, как это будет сделано в разделе 18.7.3. В заключение выскажемся по поводу соблазна придать содержательный смысл хорошо заметным на глаз циклам в выборочной АКФ. Чтобы понять возникающий здесь эффект, рассмотрим следующую формулу (не зависящую от

которая справедлива при в предположении, что для (в нашем случае ). Итак, последовательность при сама оказывается стационарным временным рядом, но по сравнению с исходным рядом его автокорреляция сильнее и отлична от нуля вплоть до расстояния между коэффициентами, равного Значения независимы, лишь если они разделены пятью интервалами или более. Их автокорреляция гладко ведет себя для промежуточных лагов. Это и приводит к появлению волнообразных колебаний, или циклов.

1
Оглавление
email@scask.ru