11.1.5. ЛИНЕЙНЫЙ ПРЕДИКТОР И ФУНКЦИЯ СВЯЗИ

Линейный предиктор играет ключевую роль в теории и приложениях линейных моделей. Отношение между зависимыми и объясняющими переменными определено посредством лишь линейного предиктора. Это одна из объединяющих тем в теории линейных моделей. Значения определяют значение предиктора которое в свою очередь определяет плотность и тем самым относительные вероятности различных значений Схематически

Предиктор задается равенством

где — фиксированные параметры. Важно отметить, что:

а) все объясняющие переменные являются количественными; поэтому если используются неколичественные переменные (например, цвет), они должны быть предварительно перекодированы в числовые коды;

б) объясняющие переменные являются количественно взаимозаменяемыми; например, если то возрастание на одну единицу эквивалентно возрастанию на четыре единицы. В этом смысле переменные могут быть заменены друг другом;

в) коэффициенты в линейном предикторе могут интерпретироваться как частные производные

Это означает, что если значение возрастает точно на одну единицу, в то время как остальные переменные сохраняют свои значения,

линейный предиктор изменяется на единиц. (Это может быть как реалистичной интерпретацией, так и нереалистичной. В примере с объемом древесины, если радиус ствола дерева увеличивается, то, вероятно, возрастает и его высота.)

Ожидаемое значение У связано с линейным предиктором посредством функции связи . В некоторых случаях известны естественные кандидаты на роль в других выбор может быть более или менее произвольным. В регрессионном, дисперсионном и ковариационном анализе естественным кандидатом является тождественная функция, а при анализе таблиц сопряженностей — логарифм.

Интересным примером является экспоненциальное распределение [см. II, раздел 11.2]. Оно иногда используется, когда зависимая переменная представляет собой «время жизни» некоторого наблюдения. Если плотность есть

то Двумя кандидатами является тождественная функция и обратная с . В первом случае среднее время жизни линейно зависит от объясняющей переменной. Во втором средний темп смерти есть линейная функция объясняющей переменной. Оба предположения осмысленны, хотя они имеют недостаток, заключающийся в том, что левая часть уравнений связи должна быть положительной, в то время как правая может принимать и отрицательные значения. (По этой причине на практике часто применяют функцию связи вида

Функцию связи не следует путать с преобразованием зависимой переменной. Другими словами, модель, в которой имеет плотность — не то же самое, что модель, в которой имеет плотность Эти модели могут даже не быть близкими друг к

ДРУГУ.