16.2.2. НЕКОТОРЫЕ ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В настоящем разделе мы рассмотрим случайный вектор X, который имеет распределение MVN с вектором средних значений и дисперсионной матрицей V [см. II, раздел 13.4]. Пусть X,, — статистические копии X, т. е. это независимо распределенные случайные векторы, каждый из которых имеет такое же распределение, как и X. Они могут рассматриваться как случайные векторы, индуцированные векторами наблюдений

Очевидно, что выборочным распределением [см. раздел 2.2] выборочного вектора средних будет

Обратимся теперь к выборочному распределению матрицы выборочных сумм квадратов произведений, а именно матрицы (16.1.9):

Векторы не являются независимыми друг от друга,

поскольку содержат общий член X. Когда речь идет о выборочном распределении матрицы А, конечно, имеется в виду совместное распределение алгебраически различающихся статистик

Обобщение одномерной задачи нахождения распределения следовательно, не является тривиальным. В одномерном случае, с независимыми наблюдениями из после некоторого ортогонального преобразования можно записать

где — реализации независимых нормально распределенных величин с нулевым математическим ожиданием и дисперсией отсюда следует, что выборочное распределение будет распределением хи-квадрат с степенями свободы [см. 2.5.4, п. а)]. В настоящем случае обобщение этой техники дает

где — взаимонезависимые случайные векторы, каждый из которых имеет одно и то же распределение Отсюда выборочным распределением для А будет распределение Уишарта с параметром степенями свободы с функцией плотности

А — положительно определена.

Если

то это выборка из нормального распределения с ожиданием и дисперсией 1. Плотность (16.2.4) переходит в плотность распределения хи-квадрат, что подтверждает хорошо известный в одномерном случае результат. Когда плотность для

имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы. Аналогично соответствующим результатам в одномерном случае для выборок из нормального распределения и А являются также независимо распределенными и совместим достаточными статистиками для и V [см. пример 3.4.8].

Результаты, приведенные в этом разделе, можно распространить на случай нескольких независимых выборок из распределений с векторами математических ожиданий и одинаковой ковариационной матрицей V. Тогда разность имеет распределение с вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей Далее, пусть — независимые случайные

матрицы, подчиненные распределению Уишарта с параметром V и числами степеней свободы Тогда имеет распределение Уишарта с степенями свободы. Когда это свойство воспроизводит свойство независимых величин с распределением хи-квадрат.