16.2.3. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ ДЛЯ ВЕКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЙ

Методы, применяемые при построении доверительных интервалов или проверке гипотез (например, для математического ожидания в случае одномерного нормального распределения с известной дисперсией [см. примеры 4.2.1 и 4.5.2], основаны на использовании процентных точек стандартной нормальной случайной величины где

Когда значение а неизвестно, соответствующие процедуры могут быть построены с помощью распределения Стьюдента с степенями свободы для статистики

где — обычная несмещенная оценка для Можно воспользоваться и квадратами величин и что приводит к величине, имеющей распределение хи-квадрат с 1 степенью свободы, в случае и к величине, имеющей -распределение с 1 и степенями свободы, в случае

Трудности, возникающие при одномерном подходе в процессе получения соответствующих статистик в многомерном случае, очевидны. Они связаны с тем, что эта процедура основана не на использовании известного выборочного распределения статистики

которым будет а на использовании квадратичной формы, обобщающей квадраты статистик и

Выборочное распределение квадратичной формы

(скалярной величины) есть распределение хи-квадрат с степенями свободы. При проверке гипотезы когда V известна (это аналог одномерного случая с нормальным распределением и известной дисперсией), критическая область для уровня значимости с [см. раздел 5.12] есть множество векторов х, для которых выполняется соотношение

где есть (1—а) х 100%-ная точка распределения хи-квадрат с степенями свободы.

Доверительную область для в -мерном пространстве можно получить, обращая в неравенство

Эта область представляет собой эллипсоид с центром в X.

Для двумерной выборки в примере 16.2.1 неравенство (16.2.6) примет вид

Это эллипс в двумерном пространстве координат с центром в

Когда матрица V неизвестна, обобщение одномерной статистики квадрата имеющей распределение Стьюдента, приводит к статистике Т Хоттелинга:

где С — выборочная матрица ковариаций (16.1.9). При проверке гипотезы критическая область для уровня значимости а есть множество векторов х, для которых выполняется неравенство

где

и есть -ная точка F-распределения с степенями свободы [см. раздел 2.5.6].

Доверительная область для в -мерном пространстве может быть получена с помощью процентных точек -распределения. Мы снова получаем эллипсоид.