18.3. ПЕРИОДОГРАММА ВРЕМЕННОГО РЯДА

18.3.1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВРЕМЕННОГО РЯДА

Периодический временной ряд — это ряд, который в точности повторяет свои значения по прошествии целого периода для всех . В разделе 18.3.2 мы покажем, что такой ряд может быть представлен как сумма среднего уровня и линейной комбинации синусоидальных волн — гармонических компонент. Эти волны имеют основной период и гармоники с периодами соответствующие целым волнам в течение периода . Так, при что может понадобиться при анализе ежемесячных данных, кроме среднего уровня или постоянной составляющей, с каждым из периодов 12, 6, 4, 3 и 12/5 можно связать синусоидальную и косинусоидальную компоненты. Наконец, для периода 2 синусоидальную компоненту можно опустить, так как она тождественно равна для целых Таким образом, остается косинусоидальная

компонента с периодом 2, доводящая общее число компонент до 12, и, как мы видим, поэтому в этой компоненте просто чередуются значения +1 и -1. Объединим первые 12 значений, отвечающие значениям каждой из этих компонент, в векторы-столбцы задаваемые формулами

Мы можем представить эти векторы в виде матрицы (напомним, что следующим образом:

(см. скан)

Графики соответствующих волн изображены на рис. 18.3.1. Столбцы можно просто получить из столбца взяв каждое по времени значение и возвращаясь к его началу, если это необходимо. Становится ясно, почему нам не понадобились никакие дпйны волн, меньшие двух временных промежутков (или частоты, большие ); действительно, если мы возьмем в столбце каждое

(кликните для просмотра скана)

седьмое по времени значение, мы снова получим Аналогично совпадает с . В терминах абсолютной частоты определяемой как число волн за интервал между наблюдениями (величина, обратная периоду, или угловая частота, деленная на ), синусоидальная волна с частотой при рассмотрении лишь целых значений неотличима от волн с частотой , т. е.

Поэтому принято считать, что частота находится в пределах так как любой большей частоте отвечает волна, совпадающая в моменты наблюдений с аналогичной волной, отвечающей некоторой частоте из указанного интервала. Наибольшая частота отвечает периоду, равному двум временным интервалам, и называется частотой Найквиста. Такое соглашение может привести к неправильным выводам, но оно будет давать правильный ответ, если временной интервал между наблюдениями достаточно мал — не более половины периода самой короткопериодической из предполагаемых волн. Рис. 18.3.1, в) показывает значения, которые были бы зафиксированы, если бы уровень прилива измерялся ежедневно в 6 часов утра и 6 часов вечера. Вышеупомянутое соглашение привело бы к ошибочному предположению о том, что (один прилив за 14 дней), тогда как в действительности (27 приливов за 14 дней). Измерения высоты каждые 6 часов приведут к правильной частоте приливов.