20.7. ПРИМЕНЕНИЯ

20.7.1. ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ЛИНЕЙНОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНА

а) Введение. В дальнейшем изложении предполагается, что структура и параметры модели априори неизвестны, поэтому применяются методы идентификации и оценивания дискретных линейных моделей в фазовом пространстве, описанные в разделах 20.6.2 и 20.6.3. Наша цель состоит в построении модели, пригодной для прогноза водного расхода в реке в зависимости от осадков в реальном времени. Как отмечалось в разделе 20.6.1, величина водного расхода нелинейно зависит от уровня осадков, главным образом вследствие того, что речной бассейн по разному реагирует на осадки в зависимости от состояния

«увлажненности». Тем не менее оказывается, что кусочно-линейный подход во многих случаях позволяет получить удовлетворительные результаты. Он может быть применен путем разложения исходной последовательности осадков на две или более входные последовательности, каждая из которых характеризует «отклик» бассейна при различных состояниях увлажненности [см. Todini and Wallis (1977), (1978)]. Таким образом, хотя отклик на величину осадков в результирующей модели будет нелинейным, проблема оценивания остается линейной.

В приведенном примере были доступны ежедневные данные об осадках и водном расходе за период с 1 октября 1962 г. по 31 марта 1970 г. для Хиллсборо-Ривер около Зефирвилла, штат Флорида. Заранее были идентифицированы три входные последовательности осадков, каждая из которых, как было указано, отвечала различным условиям в бассейне реки.

Рассматриваемая модель имеет вид

где — выход модели, а матрица — три раздельные входные последовательности осадков. Требуется идентифицировать размерность и структуру матриц и оценить свободные параметры Н, F, D и G. Эта задача должна быть разбита на две части, поскольку модель, связывающая и имеющая данный вид, непосредственно идентифицирована быть не может, если только не является белым шумом. Сначала модель в фазовом пространстве для процесса выпадения осадков записывается в обновляющей форме:

где — белый шум. Затем последовательность используется для получения прогноза расхода при помощи модели в фазовом пространстве

б) Идентификация и оценивание параметров. Модель в фазовом пространстве для осадков. Первый шаг состоит в «отбеливании» входного процесса. Это может быть сделано путем подгонки авторегрессионной модели высокого порядка

Вычисление ковариаций для дает уравнения Юла— Уолкера

которые могут быть решены относительно когда каждое С, заменено его выборочной оценкой. Найденные В используются для получения первой оценки матриц импульсного отклика в представлении

опирающемся на соотношения (20.6.27).

Структура подходящей модели в фазовом пространстве для трех последовательностей осадков находится при помощи канонического корреляционного анализа с последовательностью взятой в качестве вектора прошлых наблюдений; при этом требуется, чтобы к было достаточно большим. В данном случае к выбиралось равным двенадцати. Следуя процедуре, предложенной в [Cooper and Wood (1982 а)], находим, что

Строки являются строками матрицы Заметим, что в матрице имеется 17 свободных параметров, тогда как в общей авторегрессионной модели третьего порядка для трех переменных их 27. Приведенные здесь значения являются весьма грубыми оценками параметров; они могут быть использованы в качестве первоначального приближения в итеративной процедуре Гаусса—Ньютона при условии, что модель устойчива, т. е. собственные значения матрицы по модулю меньше единицы. В данном случае это не так, и предварительные оценки должны быть возмущены, чтобы получить полезные начальные приближения. К настоящему времени нет рекомендаций, каким образом это надо делать. Указанная модель, полученная с помощью процедуры идентификации и содержащая 17 параметров, может быть подвергнута дальнейшей редукции, если положить равными нулю некоторые из параметров и которые представляются достаточно малыми. Оценивание по методу Гаусса—Ньютона дает следующие значения:

Значения элементов похожи на те, что получены в процессе процедуры идентификации, тогда как значения элементов существенно отличаются. При данных оцененных значениях и зная структуру Н, мы можем преобразовать измерения осадков к процессу белого шума, используя соотношения

Модель в фазовом пространстве, связывающая расход воды в реке с осадками. Идентифицируем модель, связывающую речной поток и осадки. Она имеет структуру, описываемую уравнениями (20.7.5) и (20.7.6). Сначала подгоним модель импульсного отклика высокого порядка

с использованием значений а, полученных из соотношения (20.7.11). При этом каждое из является вектором размерности Подгонка осуществляется путем решения ковариационных уравнений для Начальные оценки для векторов приведены в табл. 20.7.1; они необходимы для нахождения параметров матрицы в уравнении (20.7.6).

Таблица 20.7.1. Параметры импульсного отклика для входных последовательностей

Модель импульсного отклика для

требуется, чтобы оценить матрицу в уравнении (20.7.6). При данных процесс может быть получен из (20.7.12), поскольку значения последовательностей известны. Модель подгоняется точно так же, как и модель для при помощи авторегрессионной модели высокого порядка с последующим ее обращением. Применяя этот метод, получаем следующие начальные значения для . Указанные числа являются приближенными значениями соответствующих элементов Заключительная стадия процедуры идентификации состоит в проведении канонического корреляционного анализа с использованием в качестве вектора прошлых наблюдений

В нашем примере вектор будущих наблюдений состоял последовательно из вектор будущих наблюдений расширяется до тех пор, пока результаты канонического корреляционного анализа не указывают на хорошее качество подгон Подробное описание этих проблем содержится в [Cooper and Wooc (1982 а)].

Идентифицированная модель, связывающая расход воды и осадки задается матрицами

Оценивание параметров с исключением тех из них, которые близки к нулю, проведенное с помощью указанных матриц, взятых в качестве начального приближения, дает окончательный вид модели:

Модели для осадков [см. (20.7.3) и (20.7.4)] и для расхода воды при заданных осадках [см. (20.7.5) и (20.7.6)] могут быть объединены в одну общую модель в фазовом пространстве для осадков и расхода. Легко проверить, что они имеют вид

(кликните для просмотра скана)

Рис. 20.7.2. Автокорреляционная функция ошибок одношагового прогноза за период с 1 октября 1962 г. по 31 марта 1970 г. для Хиллсборо-Ривер [Cooper and

Структура объединенной модели такова, что будущие значения осадков не зависят от прошлых значений расхода воды, однако фильтр Калмана оперирует как со значениями осадков, так и со значениями расхода.

в) Результаты. Описанная выше модель применялась к данным по Хиллсборо-Ривер [см. раздел 20.7.1, п. а)], а ее качество оценивалось путем сравнения наблюдаемого поведения обновления с ожиданием при оптимальных условиях. Рис. 20.7.1, а) показывает количество выпавших за день осадков за период с 21 июля по 29 сентября 1964 г., а рис. 20.7.1, б) — наблюдаемые и прогнозируемые (на один шаг вперед) значения водного расхода реки за тот же период. Выборочные автокорреляции обновления за полный период с 1 октября 1962 г. по 31 марта 1970 г. приведены на рис. 20.7.2 вместе с границами для их удвоенных стандартных отклонений. Из вида автокорреляций для обновлений ясно, что модель является адекватной. Этого следовало ожидать, поскольку модель сконструирована с учетом моментов второго порядка на исследуемом периоде. Однако более детальное исследование обновлений (например, изучение рис. 20.7.1, б)) показывает,

что модель может давать не очень хорошее описание в периоды сильных дождей, которые как раз и представляют наибольший интерес. А именно имеет место занижение прогноза на восходящей ветви, т. е. когда интенсивность потока растет, и занижение прогноза, когда пик интенсивности потока пройден. Эти особенности не выявляются при исследовании автокорреляции. Они возникают в силу типа выбранной модели, которая в принципе не в состоянии отражать некоторые из характеристик связи между расходом воды и осадками; кроме того, спорны и предположения относительно характеристик шума. Этот аспект обсуждается в разделе 20.7.2.