Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
20.7. ПРИМЕНЕНИЯ20.7.1. ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ЛИНЕЙНОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНАа) Введение. В дальнейшем изложении предполагается, что структура и параметры модели априори неизвестны, поэтому применяются методы идентификации и оценивания дискретных линейных моделей в фазовом пространстве, описанные в разделах 20.6.2 и 20.6.3. Наша цель состоит в построении модели, пригодной для прогноза водного расхода в реке в зависимости от осадков в реальном времени. Как отмечалось в разделе 20.6.1, величина водного расхода нелинейно зависит от уровня осадков, главным образом вследствие того, что речной бассейн по разному реагирует на осадки в зависимости от состояния «увлажненности». Тем не менее оказывается, что кусочно-линейный подход во многих случаях позволяет получить удовлетворительные результаты. Он может быть применен путем разложения исходной последовательности осадков на две или более входные последовательности, каждая из которых характеризует «отклик» бассейна при различных состояниях увлажненности [см. Todini and Wallis (1977), (1978)]. Таким образом, хотя отклик на величину осадков в результирующей модели будет нелинейным, проблема оценивания остается линейной. В приведенном примере были доступны ежедневные данные об осадках и водном расходе за период с 1 октября 1962 г. по 31 марта 1970 г. для Хиллсборо-Ривер около Зефирвилла, штат Флорида. Заранее были идентифицированы три входные последовательности осадков, каждая из которых, как было указано, отвечала различным условиям в бассейне реки. Рассматриваемая модель имеет вид
где
где
б) Идентификация и оценивание параметров. Модель в фазовом пространстве для осадков. Первый шаг состоит в «отбеливании» входного процесса. Это может быть сделано путем подгонки авторегрессионной модели высокого порядка
Вычисление ковариаций для
которые могут быть решены относительно
опирающемся на соотношения (20.6.27). Структура подходящей модели в фазовом пространстве для трех последовательностей осадков находится при помощи канонического корреляционного анализа с последовательностью
Строки
Значения элементов
Модель в фазовом пространстве, связывающая расход воды в реке с осадками. Идентифицируем модель, связывающую речной поток и осадки. Она имеет структуру, описываемую уравнениями (20.7.5) и (20.7.6). Сначала подгоним модель импульсного отклика высокого порядка
с использованием значений а, полученных из соотношения (20.7.11). При этом каждое из Таблица 20.7.1. Параметры импульсного отклика для входных последовательностей
Модель импульсного отклика для
требуется, чтобы оценить матрицу
В нашем примере вектор будущих наблюдений состоял последовательно из Идентифицированная модель, связывающая расход воды и осадки задается матрицами
Оценивание параметров с исключением тех из них, которые близки к нулю, проведенное с помощью указанных матриц, взятых в качестве начального приближения, дает окончательный вид модели:
Модели для осадков [см. (20.7.3) и (20.7.4)] и для расхода воды при заданных осадках [см. (20.7.5) и (20.7.6)] могут быть объединены в одну общую модель в фазовом пространстве для осадков и расхода. Легко проверить, что они имеют вид
(кликните для просмотра скана)
Рис. 20.7.2. Автокорреляционная функция ошибок одношагового прогноза за период с 1 октября 1962 г. по 31 марта 1970 г. для Хиллсборо-Ривер [Cooper and
Структура объединенной модели такова, что будущие значения осадков не зависят от прошлых значений расхода воды, однако фильтр Калмана оперирует как со значениями осадков, так и со значениями расхода. в) Результаты. Описанная выше модель применялась к данным по Хиллсборо-Ривер [см. раздел 20.7.1, п. а)], а ее качество оценивалось путем сравнения наблюдаемого поведения обновления с ожиданием при оптимальных условиях. Рис. 20.7.1, а) показывает количество выпавших за день осадков за период с 21 июля по 29 сентября 1964 г., а рис. 20.7.1, б) — наблюдаемые и прогнозируемые (на один шаг вперед) значения водного расхода реки за тот же период. Выборочные автокорреляции обновления за полный период с 1 октября 1962 г. по 31 марта 1970 г. приведены на рис. 20.7.2 вместе с границами для их удвоенных стандартных отклонений. Из вида автокорреляций для обновлений ясно, что модель является адекватной. Этого следовало ожидать, поскольку модель сконструирована с учетом моментов второго порядка на исследуемом периоде. Однако более детальное исследование обновлений (например, изучение рис. 20.7.1, б)) показывает, что модель может давать не очень хорошее описание в периоды сильных дождей, которые как раз и представляют наибольший интерес. А именно имеет место занижение прогноза на восходящей ветви, т. е. когда интенсивность потока растет, и занижение прогноза, когда пик интенсивности потока пройден. Эти особенности не выявляются при исследовании автокорреляции. Они возникают в силу типа выбранной модели, которая в принципе не в состоянии отражать некоторые из характеристик связи между расходом воды и осадками; кроме того, спорны и предположения относительно характеристик шума. Этот аспект обсуждается в разделе 20.7.2.
|
1 |
Оглавление
|