Главная > Справочник по прикладной статистике. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

15.3.3. ТЕОРЕМА БАЙЕСА ДЛЯ ЕДИНСТВЕННОГО НЕИЗВЕСТНОГО ПАРАМЕТРА

Пример 15.3.2. Предположим, что два инженера А и В интересуются значениями измеренной в соответствующих единицах разрушающей силы в материала, который ранее не подвергался систематическим лабораторным проверкам. Инженер А проводил в широком масштабе исследования аналогичных материалов. Когда применялась описанная в предыдущем разделе процедура подбора кривой на основе суждений, она дала следующие результаты:

Примерные схемы ф.р. и соответствующей п.р.в., предполагаемые на основании субъективно оцененных значений квантилей, позволяют обнаружить, что с высокой степенью приближенности априорное распределение инженера А для в можно представить с помощью нормального распределения со средним, равным 500, и стандартным отклонением, равным 20. Будем далее обозначать его символически как .

Инженер В не настолько хорошо знаком с материалами такого типа, и когда его опрашивают в соответствии с процедурой выбора кривой на основании суждений, отвечает следующим образом:

Легко видеть, что эти значения приводят к априорному распределению, которое хорошо аппроксимируется нормальным распределением со средним, равным 400, и стандартным отклонением, равным 80. Будем его символически обозначать как .

Предположим теперь, что обоим инженерам стал известен результат эксперимента, в котором наблюдалось значение силы разрушения и что оба считают это реализацией случайной переменной X, нормально распределенной со средним в и стандартным отклонением, равным 40. Поэтому инженеры принимают в качестве входного вида правдоподобия в теореме Байеса выражение

Инженер А будет использовать ее вместе с априорной функцией плотности анализируемого параметра

а инженер В с

Если определить в качестве стандартизованного правдоподобия отношение

то на основании результатов из раздела 15.3.1 становится видно, что теорема Байеса имеет вид

На рис. 15.3.5 — 15.3.7 показан приближенный вид функций априорных плотностей, стандартизованного правдоподобия и апостериорных плотностей для А и В. В случае А априорная плотность имеет более сконцентрированный вид, чем стандартизованное правдоподобие, и поэтому, когда эти функции перемножаются для получения апостериорной плотности, априорная плотность доминирует, а результирующая апостериорная плотность выглядит аналогично априорной плотности. Все это отражает тот факт, что единственное довольно неточное наблюдение не может оказывать большого воздействия на априорные представления, имеющие довольно основательные подтверждения.

Однако в случае В более сконцентрированный вид имеет стандартизованное правдоподобие, а не априорная плотность. Это приводит к тому, что апостериорная плотность по виду гораздо больше похожа на стандартизованное правдоподобие, чем на априорную плотность, и отражает тот факт, что если априорные представления довольно размыты, то даже несколько неточное наблюдение будет вызывать радикальный пересмотр априорных представлений.

Рис. 15.3.5. Априорные плотности для А и В

Рис. 15.3.6. Стандартизованное правдоподобие

Рис. 15.3.7. Апостериорные плотности для А и В

В действительности можно показать [см. раздел 15.5.3], что . Сравнивая их вид с соответствующими априорными плотностями, видим, что инженер А мало узнал нового в результате эксперимента (в том смысле, что его апостериорное представление не очень отличается от априорного представления), в то время как инженер В обучился довольно многому (его апостериорное представление в значительной степени отличается от

Рис. 15.3.8. (см. скан) Априорные плотности и стандартизованное правдоподобие при 100 наблюдениях

Рис. 15.3.9. (см. скан) Апостериорные плотности для А и В, полученные на основании 100 наблюдений

его априорного суждения). Все это иллюстрирует фундаментальный принцип байесовского подхода: данные не создают представлений; они скорее видоизменяют существующие представления.

С другой стороны, из рис. 15.3.8 и 15.3.9 видно, что в результате появления данных наблюдений происходит сближение видов обоих распределений, отражающих представления инженеров. Это движение в направлении согласования мнений становится еще более заметным, когда увеличивается количество данных. Предположим, что всего проведено 100 независимых экспериментов, и в результате получилось,

что среднее значение наблюдаемой разрушающей силы Оно может рассматриваться как реализация нормально распределенной случайной переменной со средним в и стандартным отклонением Поэтому правдоподобие, получаемое в результате проведения 100 экспериментов, имеет вид

(приближенный) стандартизованный вариант которого показан на рис. 15.3.8 вместе с видом априорных плотностей На рис. 15.3.9 изображены результирующие апостериорные плотности, причем можно показать [см. раздел 15.5.3], что

что практически не различается.

Рис. 15.3.5 — 15.3.9 хорошо иллюстрируют, каким образом вид апостериорной плотности зависит от того, насколько пологий или пикообразный (заостренный) вид имеет априорная плотность по сравнению с теми же характеристиками кривой правдоподобия. Когда имеется совсем немного данных, может оказаться, что априорная плотность будет такой же заостренной, как и правдоподобие, и вид апостериорной плотности будет отражать компромисс между априорными предположениями и информацией, которую привносят данные. Однако если в распоряжении имеется большой объем данных, то по сравнению с очень узким пиком, характерным для кривой правдоподобия, типичная априорная плотность будет казаться очень пологой. Так как апостериорная плотность задается произведением стандартизованного правдоподобия и априорной плотности, умножение на последнюю скорее напоминает умножение на постоянную функцию (по отношению к переменной в), и форма, и расположение апостериорной плотности будут почти полностью предопределяться видом правдоподобия.

1
Оглавление
email@scask.ru