Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
15.3.3. ТЕОРЕМА БАЙЕСА ДЛЯ ЕДИНСТВЕННОГО НЕИЗВЕСТНОГО ПАРАМЕТРА
Пример 15.3.2. Предположим, что два инженера А и В интересуются значениями измеренной в соответствующих единицах разрушающей силы в материала, который ранее не подвергался систематическим лабораторным проверкам. Инженер А проводил в широком масштабе исследования аналогичных материалов. Когда применялась описанная в предыдущем разделе процедура подбора кривой на основе суждений, она дала следующие результаты:
Примерные схемы ф.р. и соответствующей п.р.в., предполагаемые на основании субъективно оцененных значений квантилей, позволяют обнаружить, что с высокой степенью приближенности априорное распределение инженера А для в можно представить с помощью нормального распределения со средним, равным 500, и стандартным отклонением, равным 20. Будем далее обозначать его символически как
.
Инженер В не настолько хорошо знаком с материалами такого типа, и когда его опрашивают в соответствии с процедурой выбора кривой на основании суждений, отвечает следующим образом:
Легко видеть, что эти значения приводят к априорному распределению, которое хорошо аппроксимируется нормальным распределением со средним, равным 400, и стандартным отклонением, равным 80. Будем его символически обозначать как
.
Предположим теперь, что обоим инженерам стал известен результат эксперимента, в котором наблюдалось значение силы разрушения
и что оба считают это реализацией случайной переменной X, нормально распределенной со средним в и стандартным отклонением, равным 40. Поэтому инженеры принимают в качестве входного вида правдоподобия в теореме Байеса выражение
Инженер А будет использовать ее вместе с априорной функцией плотности анализируемого параметра
а инженер В с
Если определить в качестве стандартизованного правдоподобия отношение
то на основании результатов из раздела 15.3.1 становится видно, что теорема Байеса имеет вид
На рис. 15.3.5 — 15.3.7 показан приближенный вид функций априорных плотностей, стандартизованного правдоподобия и апостериорных плотностей для А и В. В случае А априорная плотность имеет более сконцентрированный вид, чем стандартизованное правдоподобие, и поэтому, когда эти функции перемножаются для получения апостериорной плотности, априорная плотность доминирует, а результирующая апостериорная плотность выглядит аналогично априорной плотности. Все это отражает тот факт, что единственное довольно неточное наблюдение не может оказывать большого воздействия на априорные представления, имеющие довольно основательные подтверждения.
Однако в случае В более сконцентрированный вид имеет стандартизованное правдоподобие, а не априорная плотность. Это приводит к тому, что апостериорная плотность по виду гораздо больше похожа на стандартизованное правдоподобие, чем на априорную плотность, и отражает тот факт, что если априорные представления довольно размыты, то даже несколько неточное наблюдение будет вызывать радикальный пересмотр априорных представлений.
Рис. 15.3.5. Априорные плотности для А и В
Рис. 15.3.6. Стандартизованное правдоподобие
Рис. 15.3.7. Апостериорные плотности для А и В
В действительности можно показать [см. раздел 15.5.3], что
. Сравнивая их вид с соответствующими априорными плотностями, видим, что инженер А мало узнал нового в результате эксперимента (в том смысле, что его апостериорное представление не очень отличается от априорного представления), в то время как инженер В обучился довольно многому (его апостериорное представление в значительной степени отличается от
Рис. 15.3.8. (см. скан) Априорные плотности и стандартизованное правдоподобие при 100 наблюдениях
Рис. 15.3.9. (см. скан) Апостериорные плотности для А и В, полученные на основании 100 наблюдений
его априорного суждения). Все это иллюстрирует фундаментальный принцип байесовского подхода: данные не создают представлений; они скорее видоизменяют существующие представления.
С другой стороны, из рис. 15.3.8 и 15.3.9 видно, что в результате появления данных наблюдений происходит сближение видов обоих распределений, отражающих представления инженеров. Это движение в направлении согласования мнений становится еще более заметным, когда увеличивается количество данных. Предположим, что всего проведено 100 независимых экспериментов, и в результате получилось,
что среднее значение наблюдаемой разрушающей силы
Оно может рассматриваться как реализация нормально распределенной случайной переменной со средним в и стандартным отклонением
Поэтому правдоподобие, получаемое в результате проведения 100 экспериментов, имеет вид
(приближенный) стандартизованный вариант которого показан на рис. 15.3.8 вместе с видом априорных плотностей
На рис. 15.3.9 изображены результирующие апостериорные плотности, причем можно показать [см. раздел 15.5.3], что
что практически не различается.
Рис. 15.3.5 — 15.3.9 хорошо иллюстрируют, каким образом вид апостериорной плотности зависит от того, насколько пологий или пикообразный (заостренный) вид имеет априорная плотность по сравнению с теми же характеристиками кривой правдоподобия. Когда имеется совсем немного данных, может оказаться, что априорная плотность будет такой же заостренной, как и правдоподобие, и вид апостериорной плотности будет отражать компромисс между априорными предположениями и информацией, которую привносят данные. Однако если в распоряжении имеется большой объем данных, то по сравнению с очень узким пиком, характерным для кривой правдоподобия, типичная априорная плотность будет казаться очень пологой. Так как апостериорная плотность задается произведением стандартизованного правдоподобия и априорной плотности, умножение на последнюю скорее напоминает умножение на постоянную функцию (по отношению к переменной в), и форма, и расположение апостериорной плотности будут почти полностью предопределяться видом правдоподобия.