15.3.3. ТЕОРЕМА БАЙЕСА ДЛЯ ЕДИНСТВЕННОГО НЕИЗВЕСТНОГО ПАРАМЕТРА

Пример 15.3.2. Предположим, что два инженера А и В интересуются значениями измеренной в соответствующих единицах разрушающей силы в материала, который ранее не подвергался систематическим лабораторным проверкам. Инженер А проводил в широком масштабе исследования аналогичных материалов. Когда применялась описанная в предыдущем разделе процедура подбора кривой на основе суждений, она дала следующие результаты:

Примерные схемы ф.р. и соответствующей п.р.в., предполагаемые на основании субъективно оцененных значений квантилей, позволяют обнаружить, что с высокой степенью приближенности априорное распределение инженера А для в можно представить с помощью нормального распределения со средним, равным 500, и стандартным отклонением, равным 20. Будем далее обозначать его символически как .

Инженер В не настолько хорошо знаком с материалами такого типа, и когда его опрашивают в соответствии с процедурой выбора кривой на основании суждений, отвечает следующим образом:

Легко видеть, что эти значения приводят к априорному распределению, которое хорошо аппроксимируется нормальным распределением со средним, равным 400, и стандартным отклонением, равным 80. Будем его символически обозначать как .

Предположим теперь, что обоим инженерам стал известен результат эксперимента, в котором наблюдалось значение силы разрушения и что оба считают это реализацией случайной переменной X, нормально распределенной со средним в и стандартным отклонением, равным 40. Поэтому инженеры принимают в качестве входного вида правдоподобия в теореме Байеса выражение

Инженер А будет использовать ее вместе с априорной функцией плотности анализируемого параметра

а инженер В с

Если определить в качестве стандартизованного правдоподобия отношение

то на основании результатов из раздела 15.3.1 становится видно, что теорема Байеса имеет вид

На рис. 15.3.5 — 15.3.7 показан приближенный вид функций априорных плотностей, стандартизованного правдоподобия и апостериорных плотностей для А и В. В случае А априорная плотность имеет более сконцентрированный вид, чем стандартизованное правдоподобие, и поэтому, когда эти функции перемножаются для получения апостериорной плотности, априорная плотность доминирует, а результирующая апостериорная плотность выглядит аналогично априорной плотности. Все это отражает тот факт, что единственное довольно неточное наблюдение не может оказывать большого воздействия на априорные представления, имеющие довольно основательные подтверждения.

Однако в случае В более сконцентрированный вид имеет стандартизованное правдоподобие, а не априорная плотность. Это приводит к тому, что апостериорная плотность по виду гораздо больше похожа на стандартизованное правдоподобие, чем на априорную плотность, и отражает тот факт, что если априорные представления довольно размыты, то даже несколько неточное наблюдение будет вызывать радикальный пересмотр априорных представлений.

Рис. 15.3.5. Априорные плотности для А и В

Рис. 15.3.6. Стандартизованное правдоподобие

Рис. 15.3.7. Апостериорные плотности для А и В

В действительности можно показать [см. раздел 15.5.3], что . Сравнивая их вид с соответствующими априорными плотностями, видим, что инженер А мало узнал нового в результате эксперимента (в том смысле, что его апостериорное представление не очень отличается от априорного представления), в то время как инженер В обучился довольно многому (его апостериорное представление в значительной степени отличается от

Рис. 15.3.8. (см. скан) Априорные плотности и стандартизованное правдоподобие при 100 наблюдениях

Рис. 15.3.9. (см. скан) Апостериорные плотности для А и В, полученные на основании 100 наблюдений

его априорного суждения). Все это иллюстрирует фундаментальный принцип байесовского подхода: данные не создают представлений; они скорее видоизменяют существующие представления.

С другой стороны, из рис. 15.3.8 и 15.3.9 видно, что в результате появления данных наблюдений происходит сближение видов обоих распределений, отражающих представления инженеров. Это движение в направлении согласования мнений становится еще более заметным, когда увеличивается количество данных. Предположим, что всего проведено 100 независимых экспериментов, и в результате получилось,

что среднее значение наблюдаемой разрушающей силы Оно может рассматриваться как реализация нормально распределенной случайной переменной со средним в и стандартным отклонением Поэтому правдоподобие, получаемое в результате проведения 100 экспериментов, имеет вид

(приближенный) стандартизованный вариант которого показан на рис. 15.3.8 вместе с видом априорных плотностей На рис. 15.3.9 изображены результирующие апостериорные плотности, причем можно показать [см. раздел 15.5.3], что

что практически не различается.

Рис. 15.3.5 — 15.3.9 хорошо иллюстрируют, каким образом вид апостериорной плотности зависит от того, насколько пологий или пикообразный (заостренный) вид имеет априорная плотность по сравнению с теми же характеристиками кривой правдоподобия. Когда имеется совсем немного данных, может оказаться, что априорная плотность будет такой же заостренной, как и правдоподобие, и вид апостериорной плотности будет отражать компромисс между априорными предположениями и информацией, которую привносят данные. Однако если в распоряжении имеется большой объем данных, то по сравнению с очень узким пиком, характерным для кривой правдоподобия, типичная априорная плотность будет казаться очень пологой. Так как апостериорная плотность задается произведением стандартизованного правдоподобия и априорной плотности, умножение на последнюю скорее напоминает умножение на постоянную функцию (по отношению к переменной в), и форма, и расположение апостериорной плотности будут почти полностью предопределяться видом правдоподобия.