18.2. КЛАССИЧЕСКИЕ РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

18.2.1. МОДЕЛЬ СЕЗОННЫХ ЭФФЕКТОВ

Естественно предположить, что ярко выраженные тренд и сезонность можно моделировать при помощи компонент, являющихся детерминированными функциями времени. Например, ряд авиаперевозок можно представить как

(кликните для просмотра скана)

где линейный тренд, а индикаторные переменные, по одной на каждый месяц года. Так, для всех кроме января каждого года, для которого Тогда величина характеризует отклонение январских значений от тренда, получаются 12 различных месячных эффектов. Последний член выражает ошибку, которая, как мы ожидаем, должна быть малой в сравнении с главным трендом и сезонными эффектами; Чтобы параметризация модели была однозначной, необходимо, конечно, какое-либо ограничение, например равенство нулю суммы сезонных эффектов. Оценивая параметры модели как коэффициенты стандартного линейного уравнения регрессии по методу наименьших квадратов [см. разделы 6.5 и 8.2], мы получаем хорошую подгонку ряда [см. рис.

18.2.1, а)]. Однако в анализе временных рядов осуществляется, в частности, тщательное исследование остатков (ошибок модели) [см. раздел 8.2.4]. Действительно, эксперименты, в которых осуществляются наблюдения, не являются независимыми, и последовательные ошибки должны рассматриваться как, быть может, статистически связанные. Для приведенного примера остатки показаны на том же рисунке в виде кривой б). Они, очевидно, неслучайны, имеют длинные участки постоянства знака, постепенные и внезапные изменения уровня и случайные выбросы. Модель, допускающая изменения формы тренда и сезонности, по-видимому, может оказаться лучше. Подогнанная модель на самом деле дает, как показывает рис. 18.4.1, хорошую экстраполяцию на один год вперед. Но наши знания о структуре ошибок не позволяют привести какие-либо точные доверительные утверждения о прогнозе.