20.6.2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ

По заданной стационарной выборочной ковариационной функции временного ряда можно построить модель в фазовом пространстве, выходной процесс которой будет иметь приблизительно те же статистические характеристики, хотя первоначально точный вид ее неизвестен. В этом отношении модели в фазовом пространстве подобны авторегрессионным моделям со скользящим суммированием (ARMA) [см. раздел 18.9]:

где одинаково распределены, независимы и в точности соответствуют обновляющему члену в фильтре Калмана, а являются матрицами параметров размерности На самом деле между двумя указанными представлениями имеется тесная связь. В терминах предикторов фильтр Калмана может быть записан в виде

с ковариационной матрицей ошибок

где . Здесь и далее предполагается, что система имеет постоянные коэффициенты, поэтому индекс матриц Н и опускается. При таких условиях матрица достигает своего стационарного состояния Р, так что коэффициент усиления постоянен и может быть обозначен буквой К. Тогда так называемая обновляющая форма модели может быть записана в виде

где интерпретируется как одношаговый прогноз Эквивалентность ARMA-представления и представления в фазовом пространстве можно продемонстрировать теперь следующим образом.

Используя оператор прямого сдвига определенный равенством запишем модель ARM А (20.6.5) в виде

где

Подставляя (20.6.8) в (20.6.9), получим для представления в фазовом пространстве следующую формулу:

Указанные представления эквивалентны в том смысле, что для любой пары [А, В] можно найти тройку [Н, F, G], которая дает ту же ковариационную структуру, и наоборот. Отметим, что условие стационарности требует, чтобы корни многочлена А лежали вне единичного круга, или, что эквивалентно, чтобы собственные значения матрицы были по модулю меньше единицы (это равносильно устойчивости модели, обсуждавшейся в разделе 20.6.1).

Модель ARMA может быть обращена:

Нетрудно проверить, что обращение модели в фазовом пространстве, записанной равенством

имеет вид

Это обращение возможно только в случае, когда матрица имеет собственные значения по модулю меньше единицы [см I, гл. 7], или, что эквивалентно, когда многочлен В имеет корни вне единичного круга (условие обратимости для модели ARMA).

Установим теперь связь между моделью ARMA и моделью в фазовом пространстве для одномерных рядов. Для представления

эквивалентная модель в фазовом пространстве имеет вид

где если Числа являются элементами импульсного отклика, связывающего v с у. Отметим, что матрицы и Н разреженные. Указанная модель имеет канонический вид. Это означает, что у нее специфическая, эффективно параметризированная структура. Существуют и другие канонические формы, например, приведенный выше пример может быть записан в виде

С определенной точки зрения последняя форма предпочтительней, поскольку в ней фигурируют в точности те же параметры, что и в ARMA-представлении. Канонические формы можно получать, выбирая подходящую матрицу М и переписывая модель следующим образом:

Очевидно, что матрица М может быть найдена исходя из связи между однако состояния для этих двух форм имеют различную интерпретацию.

Выбор моделей ARMA подходящей размерности — своего рода искусство. Но как только подходящая структура идентифицирована, можно записать эквивалентное представление в фазовом пространстве и использовать для получения прогноза фильтр Калмана.

После того как обновляющая форма модели в фазовом пространстве найдена, может оказаться желательным возврат к исходной модели, содержащей шум системы и шум наблюдений. Это означает, что по данным матрицам требуется найти пользуясь соотношениями

и имея в виду, что все матрицы должны быть положительно полуопределенными. В общем случае указанные уравнения дают бесконечно много решений для хотя в отдельных ситуациях нельзя найти которые удовлетворяли бы требуемым ограничениям. Первой неприятности можно избежать, вводя ограничения на шум системы. Достаточно предположить, что

и

где Г — матрица, имеющая столько столбцов, сколько строк имеет Эта модель может рассматриваться как модель ARMA (уравнение системы) с шумом наблюдений Исходный шум системы с ковариационной матрицей заменяется на шум имеющий ковариационную матрицу . В общем случае эта матрица имеет меньше независимых элементов, чем и при наличии ограничений на некоторые элементы Г уравнение (20.6.22) имеет конечное число решений для Г и когда заменено на При этом только одно из этих решений дает обратимую модель ARM А в уравнении (20.6.23).

В отличие от методов, предложенных Боксом и Дженкинсом [см. Box and Jenkins (1976)], а также другими авторами для идентификации структуры моделей ARMA, Акайке [см. Akaike (1974)] разработал метод, который позволяет идентифицировать непосредственно структуру мод ел и. в фазовом пространстве в канонической форме. Этот метод предполагает применение канонического корреляционного анализа [см. например, Cooper and Wood (1982 а)]. По-видимому, он особенно эффективен для многомерных временных рядов, где канонические формы, смысл которых для многомерной модели ARMA неясен, возникают естественным образом. Здесь приведены ключевые моменты процедуры. Более детально эти проблемы изложены в работах [Akaike (1974)] и [Cooper and Wood (1982 а)].

Подлежащая идентификации модельная структура задается уравнениями (20.6.8) и (20.6.9). Указанная процедура используется, чтобы найти подходящую размерность матрицы F (и, следовательно, Н и G). Она дает некоторые предварительные оценки параметров этих матриц. Идентифицируемая модель имеет каноническую форму: для к-мерного вектора наблюдений у, имеются к строк матрицы которые содержат свободные параметры, остальные же строки состоят из нулей и единиц. Матрица заполнена и состоит из элементов импульсного отклика модели.

Первый шаг идентификации состоит в нахождении начальной оценки импульсного отклика, т. е. скаляров или матриц таких, что

Способ их нахождения следует Боксу и Дженкинсу. Авторегрессионная модель высокого порядка

подгоняется к ряду с использованием уравнений Юла—Уолкера. Предполагая, что подставляя значение выраженное в терминах и приравнивая коэффициенты при видим, что находятся как решение системы уравнений

Элементы выбираются исходя из матрицы

При этом используются только те строки матрицы, которые зависят от следующей стадии процедуры идентификации, когда находятся структуры матриц Н и Е Это делается при помощи канонического корреляционного анализа [см. Anderson (1958)] векторов прошлых наблюдений [см. раздел 16.5]. В одномерном примере выборочные ковариационные матрицы вычисляются для конечного числа, скажем, к прошлых наблюдений и для вида Далее решается уравнение для детерминанта

относительно если некоторое его решение не слишком отличается от нуля, то это означает, что имеется ассоциированная с линейная комбинация будущих значений, не зависящая от прошлого. Она находится из уравнения

где вектор таков, что

строка матрицы есть - причем предикторы у идентифицируются как состояния. Предыдущие строки матрицы с номерами имеют единицы в столбце и нули на всех остальных позициях в соответствии с уравнением

В одномерном случае при этом очевидно, что элементы есть Многомерная задача приводит к переходным матрицам с более чем одной строкой параметров, и интерпретация таких моделей сложнее. В работах [Akaike (1974)] и [Cooper and Wood (1982 а)] содержатся детали, относящиеся к многомерному случаю.