18.8. АВТОРЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ

18.8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Другой класс простых моделей с конечным числом параметров получается в предположении, что обращенная форма содержит конечное число членов, т. е. наилучший прогноз ряда использует конечное число прошлых значений. Итак, пусть при . Снова переобозначаем оставшиеся коэффициенты. Получаемая модель называется авторегрессионной моделью порядка или моделью

или

где — снова последовательность независимых одинаково распределенных величин с можно заменить на допуская возможность наличия ненулевого среднего

Так как в рамках функция — обратная к она должна удовлетворять условию при т. е. если разложить ее на множители

то

Если рассматривать (18.8.2) как соотношение, задающее случайный процесс, начинающийся в некоторый отдаленный момент времени, то последнее условие эквивалентно предположению, что процесс со временем достигнет статистического равновесия, или стационарности. Поэтому это условие называют условием стационарности.

Авторегрессионные модели, в частности, пригодны (и первоначально были созданы) для описания случайных систем, обладающих, по аналогии с механикой, инерцией и подверженных действию сил, возвращающих систему в состояние равновесия. В частности, модели второго порядка с оказались очень хорошими при описании поведения приблизительно циклической природы, прообразом которого может служить маятник, на который воздействуют малые случайные импульсы. Колебательное движение будет очевидно, но амплитуда и фаза будут все время меняться.