Глава 15. БАЙЕСОВСКИЙ ПОДХОД В СТАТИСТИКЕ
15.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы попытаемся получить ответы на следующие вопросы.
Что такое байесовские методы и в чем их отличие от других статистических методов?
Допустимо ли применение байесовских методов для всех типов статистических задач?
В чем отличие результатов, полученных с помощью байесовских методов, от результатов, полученных другими методами?
В действительности даже на первый из этих вопросов нет вполне однозначного ответа. Никакого руководства, в котором бы точно указывалось, какие методы должны и какие не должны рассматриваться в качестве байесовских, не существует. Те, кто мог бы считаться статистиками «байесовского» направления, имеют разные точки зрения по этому поводу как в методологическом, так и в практическом аспектах. Тем не менее очевидно, что необходимо выделить некоторые общие категории (положения). Приступим к этому исходя из следующего утверждения: байесовскими методами являются методы, разработанные в результате систематических попыток сформулировать и решить статистические проблемы на основе теоремы Байеса.
Начнем с детального изучения теоремы Байеса как в дискретном [см. раздел 15.2], так и в непрерывном [см. раздел 15.3] случаях.
В теореме выражено соотношение между различными вероятностями, и спецификация каждой из них служит предпосылкой к ее использованию. При рассмотрении некоторых простых примеров выявляется, что готовность статистиков систематически пользоваться теоремой Байеса зависит, по существу, от того, из какой концепции в интерпретации понятия вероятности они исходят. Те статистики, для кого «узаконено» рассмотрение вероятности как меры «степени доверия» [см. de Finetti (1974, 1975)], которая может быть определена для любого неопределенного реального объекта, не видят препятствий в систематическом применении теоремы Байеса. В то же время статистики, которые единственно законной считают частотную интерпретацию вероятности [см. II, гл. 2], ограничивают возможность
Рис. 15.1.1. Основная байесовская парадигма
использования теоремы Байеса только теми ситуациями, когда определение вероятностей может основываться на наблюдаемых частотах. Таким образом, ответ на второй из поставленных нами вопросов частично зависит от того, можно ли в каком-либо смысле подтвердить заявления, что степени доверия могут и должны рассматриваться в качестве вероятностей и им могут присваиваться числовые значения. Эти проблемы обсуждаются в гл. 19.
Многие статистические задачи независимо от методов их решения обладают общим свойством: до того как получен конкретный набор данных, в качестве потенциально приемлемых для изучаемой ситуации рассматривается несколько вероятностных моделей; после того как получены данные, возникает выраженное в некотором виде знание об относительной приемлемости этих моделей.
Отличие байесовской парадигмы [см. разделы 15.2-15.4] от других статистических подходов состоит в том, что до того, как будут получены данные, статистик рассматривает степени своего доверия к возможным моделям и представляет их в виде вероятностей. Как только данные получены, теорема Байеса позволяет статистику рассчитать новое множество вероятностей, которые представляют пересмотренные степени доверия к возможным моделям, учитывающие новую информацию, поступившую благодаря данным. На рис. 15.1.1 схематически суммируется процесс, лежащий в основе байесовской методологии при заданном множестве возможных данных.
Согласно стандартной терминологии первоначальные вероятности принято называть априорными вероятностями (так как они принимаются прежде, чем получены данные), а пересмотренные вероятности — апостериорными (так как они вычисляются после получения данных). Конечно, понятия «априорный» и «апостериорный» относятся к конкретному множеству данных; сегодняшние представления являются апостериорными по отношению к вчерашним данным, априорными
— к завтрашним.
Чтобы ответить на третий из вопросов, поставленных в начале главы, следует рассмотреть:
а) конкретные формы вывода, такие, как точечное или интервальное оценивание [см. раздел 3.1], и идеи более общего характера, относящиеся к понятию достаточных статистик [см. раздел 3.4];
б) необходимость технических упрощений и приближений для того, чтобы стало возможным использовать парадигму для получения числовых результатов;
в) подробный, основанный на байесовской парадигме анализ ситуаций, включающих стандартные вероятностные модели, такие, как биномиальное, пуассоновское и нормальное распределение [см. разделы 5.2.2, 5.4 и 11.4].
Пункт а) будет подробно разобран в разделе 15.4, пункт б) рассматривается в разделе 15.3.5. В разделе 15.5 обсуждается байесовский анализ некоторой стандартной одномерной модели, а в разделе 15.6 изложены основные идеи байесовской статистики в многопараметрических ситуациях. Соответствующая литература приведена в разделе 15.7.
