11.4.3. МОДЕЛИ НЕЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ТРЕХВХОДОВЫХ ТАБЛИЦ
Модели независимости для трех факторов существенно более интересны, чем для двух, поскольку взаимоотношения между тремя факторами более разнообразны.
Определим следующие типы независимости между тремя факторами-откликами А, В и С.
Определение 11.4.1. А и В попарно независимы, если
; А, В и С взаимно независимы, если
; А и В условно независимы при заданном С, если
.
Из этих определений непосредственно следует, что взаимозависимость А, В и С необходимо влечет попарную независимость для всех пар факторов, но попарная независимость, вообще говоря, не влечет взаимонезависимости. Аналогично условная независимость А и В при фиксированном С не влечет попарной независимости А и В и наоборот.
В прикладных работах часто интересно выяснить, может ли наблюдаемая зависимость между А и В объясняться С, если А и В условно независимы при фиксировании уровней С.
Приведем численный пример, иллюстрирующий условную независимость:
Этот пример показывает, что зависимость между А и В, наблюдаемая в маргинальной таблице,
, может быть объяснена с помощью трехвходовой таблицы, включающей фактор С, даже в случае, когда для любого уровня С факторы А и В условно независимы.
Между моделями независимости и лог-линейными моделями имеется прямое соответствие, как, например, в следующей таблице:
Первые две модели соответствуют равновероятности и имеют небольшое практическое значение. Взаимозависимости соответствует модель (3), в условной независимости — модель (5). Модель (6) не является трехвходовой, однако она включает все двухфакторные взаимодействия. Для нее невозможно привести в замкнутой форме выражения в терминах вероятностей. Для двухвходовой таблицы сопряженностей, получаемой агрегацией по фактору С, лог-линейной моделью для (7) будет
Насыщенной моделью будет (8), а модель (9) получена на основе равенства
при дополнительном предположении, что
как и в модели (7), в то время как лог-линейная модель для
задана посредством (6)