11.4.3. МОДЕЛИ НЕЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ТРЕХВХОДОВЫХ ТАБЛИЦ

Модели независимости для трех факторов существенно более интересны, чем для двух, поскольку взаимоотношения между тремя факторами более разнообразны.

Определим следующие типы независимости между тремя факторами-откликами А, В и С.

Определение 11.4.1. А и В попарно независимы, если ; А, В и С взаимно независимы, если ; А и В условно независимы при заданном С, если .

Из этих определений непосредственно следует, что взаимозависимость А, В и С необходимо влечет попарную независимость для всех пар факторов, но попарная независимость, вообще говоря, не влечет взаимонезависимости. Аналогично условная независимость А и В при фиксированном С не влечет попарной независимости А и В и наоборот.

В прикладных работах часто интересно выяснить, может ли наблюдаемая зависимость между А и В объясняться С, если А и В условно независимы при фиксировании уровней С.

Приведем численный пример, иллюстрирующий условную независимость:

Этот пример показывает, что зависимость между А и В, наблюдаемая в маргинальной таблице, , может быть объяснена с помощью трехвходовой таблицы, включающей фактор С, даже в случае, когда для любого уровня С факторы А и В условно независимы.

Между моделями независимости и лог-линейными моделями имеется прямое соответствие, как, например, в следующей таблице:

Первые две модели соответствуют равновероятности и имеют небольшое практическое значение. Взаимозависимости соответствует модель (3), в условной независимости — модель (5). Модель (6) не является трехвходовой, однако она включает все двухфакторные взаимодействия. Для нее невозможно привести в замкнутой форме выражения в терминах вероятностей. Для двухвходовой таблицы сопряженностей, получаемой агрегацией по фактору С, лог-линейной моделью для (7) будет Насыщенной моделью будет (8), а модель (9) получена на основе равенства при дополнительном предположении, что как и в модели (7), в то время как лог-линейная модель для задана посредством (6)