11.4.2. МОДЕЛИ НЕЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ПРЕДИКТОРА

Говорят, что факторы А и В независимы, если и только если вероятность классификации объекта одновременно к условию А и условию В равна произведению

для всех , или в эквивалентной записи или с очевидными сокращениями

Исходный массив данных был редуцирован к двухвходовой таблице сопряженностей с клетками с числом объектов у у в клетке и Если А и В независимы, то

Для логарифмической функции связи линейный предиктор есть

или в векторной форме

Итак, линейная комбинация индикаторных векторов для уровней А и принадлежат подпространству Основываясь на предыдущих определениях, можно сказать, что факторы А и В являются независимыми, если и только если Тот факт, что при условии независимости определяет важность лог-линейных моделей.

Пример. Приведенная таблица ожидаемых частот указывает на независимость, линейный предиктор принадлежит

Для удобства логарифмы взяты по основанию 2.

Оба фактора были рассмотрены как факторы отклика. Теперь предположим, что фактор В фиксирован, т. е. число наблюдений с уровнем фиксировано заранее. Частоты в двухвходовой таблице должны удовлетворять условию

а ожидаемое значение частот задается выражением

где — условная вероятность наблюдения уровня А при условии, что уровень фактора В есть

Эквивалентное определение независимости А и В состоит в том, что условная вероятность А при заданном значении В равна маргинальной вероятности А, т. е. или Подходящей моделью независимости для математического ожидания частоты в случае фиксированного фактора будет тогда

Это снова эквивалентно условию в чем легко убедиться, взяв логарифм.

В примере «курильщики—пол», рассмотренном в разделе 11.3.6, двухвходовая таблица сопряженностей классифицирует 120 подростков по комбинациям пола и по отношению к курению. Курильщиков намного больше среди мальчиков, и отношение перекрестных произведений существенно отличается от единицы. Формально подгонка модели для проверки независимости состоит в следующем.

Модель:

п.р.в. Y: условная пуассоновская при условии логарифмическая связь:

линейный предиктор при условии независимости: Подогнанные значения: детали опускаются, за исключением замечания, что

Данные и подогнанные значения представлены в следующей таблице:

Девиация:

Уровень значимости для значения девиации будет вне -ного значения и, следовательно, очень мало вероятно, что курение и пол независимы. Гипотеза о независимости значимо несостоятельна.

Логарифм отношения перекрестных произведений в таблицах Тот факт, что условие эквивалентно условию независимости, может быть использован для введения некоторой меры зависимости (ассоциации). Если факторы зависимы, то и коэффициент при члене, описывающем взаимодействие, может рассматриваться как мера зависимости, которая известна как логарифм отношения кросс-произведений. Запишем это следующим образом: коэффициент при равен: