§ 9. Волны малой амплитуды. Линеаризация

Повседневный опыт и лабораторные исследования показывают, однако, что в действительности продольные волны с высокой точностью сохраняют форму своего профиля. Дело в том, что для малых амплитуд волны, когда достаточно мало по сравнению с единицей, уравнение (8.2) удовлетворяется приближенно с высокой степенью точности. В самом деле, если пренебречь малой величиной по сравнению с единицей, то правую часть (8.2) можно приближенно заменить величиной при этом, сохраняя члены порядка мы отбрасываем члены, квадратичные по и члены еще более высокого порядка малости. С другой стороны, при малых степенях сжатия приближенно выполняется закон Гука: давление пропорционально степени сжатия. Это значит, что, снова с точностью до членов первого порядка по можно считать

где постоянная К — модуль упругости среды — величина, обратная так называемой сжимаемости среды Теперь для удовлетворения (8.2), т. е. для «остановки профиля», достаточно положить откуда, с той же степенью точности,

где, не изменяя порядка погрешности, можно в качестве плотности брать как возмущенное, так и невозмущенное значение.

Строго говоря, это — предельный результат, справедливый при стремлении к нулю. Часто говорят, что результат относится к «бесконечно малым амплитудам». Найденная величина с есть, таким образом, скорость продольных волн бесконечно малой амплитуды. Форма волны при этом безразлична: дисперсия отсутствует и волна любой формы бежит с одной и той же скоростью, т. е. возможны волны вида при любом виде функции Обращаясь к физическому смыслу величин как приращений невозмущенных давления Р и плотности и комбинируя формулы (9.1) и (9.2), найдем

Из формулы (9.2) следует, что, зная плотность среды и скорость звука в ней, можно найти ее модуль упругости (или сжимаемость среды). Обычно на практике определение сжимаемости производится акустическим методом путем непосредственного измерения скорости звука и плотности среды. Как увидим, в формулу (9.2) входит адиабатическая сжимаемость среды (см. § 15).

Скорость волны малой амплитуды найдена выше в результате применения двух аппроксимаций, которые обычно называют линеаризациями, так как они состоят в отбрасывании квадратичных по и сохранении линейных по членов. Одна из аппроксимаций связана с кинематикой движения: это — линеаризация соотношения между сжатием и скоростью частиц, полученного из закона сохранения массы. Она заключается в замене нелинейного соотношения (8.1) на линейное:

Вторая аппроксимация относится к динамике. Эта линеаризация заключается в замене истинной зависимости между сжатием и давлением линейной зависимостью (законом Гука). В газах главная часть ошибки, вызываемой линеаризациями, обусловлена кинематической линеаризацией, в жидкостях и твердых телах — динамической линеаризацией.

Ошибка, обусловленная линеаризациями, мала в том смысле, что в уравнениях отброшены члены, малые по сравнению с сохраняемыми членами. Это не значит, однако, что ошибка будет оставаться малой и в решении уравнения, во все время движения волны. Напротив, можно показать, что ошибка, обусловленная линеаризациями, накапливается по мере распространения волны: чем дальше пробежала волна, тем сильнее деформируется ее профиль. Здесь можно провести аналогию с другими случаями, когда также пренебрежение малыми величинами по сравнению с большими приводит в конце концов к ошибке, не малой по сравнению с интересующей нас величиной. Например, силы внутренней вязкости в звуковой волне ничтожны по сравнению с силами упругости. Одиако если не учитывать эти малые силы вязкости, то придем

к заключению, что волна никогда не затухнет. Здесь также причина неправильного заключения — в неучете накапливающегося эффекта. Ясно, что как квадратичными членами при определении скорости, так и вязкими силами при определении амплитуды волны можно пренебрегать только на ограниченных участках распространения волны. «Достаточная» малость означает, что на данном участке распространения волны ошибка не успевает накопиться до существенной в рассматриваемой задаче величины.

Из (9.4) следует, что условие применимости для плоской волны принятых аппроксимаций — малость акустического сжатия может быть сформулировано еще и как условие малости отношения скорости частиц к скорости звука по сравнению с единицей. Вообще отношение какой-либо скорости к скорости звука называют числом Маха и обозначают буквой М. Значит, линеаризация для плоской волны допустима (во всяком случае на ограниченных участках) в тех случаях, когда число Маха для движения частиц среды в волне мало по сравнению с единицей. Для оценки порядка чисел Маха в обычно встречаемых звуках укажем, что в воздухе при мощных звуковых волнах, создающих в ушах болевое ощущение, число Маха достигает всего 0,0014.

В этой книге нас будут интересовать волны малой амплитуды» для которых линеаризация дает малую ошибку. Только в гл. XIII мы специально рассмотрим, какие изменения вносит учет следующего приближения в нелинейных уравнениях, которым подчиняются звуковые волны.