§ 48. Отражение от резонатора. Согласование двух сред

Найдем проводимость сосредоточенной упругости к, нагруженной на сосредоточенную массу Такое препятствие есть резонатор типа «масса на пружинке», возбуждаемый силой, приложенной со стороны пружинки. В этом случае проводимости упругого слоя и нагрузки на него складываются, так что проводимость всей конструкции в целом будет равна

При резонансной частоте резонатора, равной проводимость системы обратится в нуль: препятствие станет эквивалентным жесткой стенке. При этом резонатор будет совершать интенсивные колебания: будет наблюдаться резонанс. Строго говоря, при такой частоте вообще нет установившегося решения — амплитуда колебаний нарастает безгранично. Но если предположить, как всегда в таких случаях, что имеется малое трение, то решение имеется: передняя стенка резонатора будет почти неподвижна, а масса будет совершать колебания тем большей амплитуды, чем меньше трение. При достаточно малом затухании такой резонатор дает хорошее приближение к абсолютно жесткой стенке для резонансной частоты, так что гармоническая волна этой частоты, падающая на резонатор, будет отражаться с коэффициентом отражения, весьма близким к .

Если, переставив элементы препятствия, нагрузить сосредоточенную массу на сосредоточенную упругость, опертую, в свою очередь, на жесткую стенку, то импеданс такого препятствия найдется как сумма импедансов его элементов:

При резонансной частоте импеданс препятствия обращается в нуль и оно делается эквивалентным свободной поверхности, так что отражение от него гармонической волны резонансной частоты происходит с коэффициентом отражения — 1. Однако явление резонанса будет отсутствовать: несмотря на совпадение частот, амплитуда смещения передней стенки препятствия при падении на него волны резонансной частоты будет лишь вдвое превосходить амплитуду в падающей волне.

Мы видели, что при переходе звуковой волны из одной среды в другую прохождение неполное, если только волновые сопротивления сред не равны друг другу. При большом различии волновых сопротивлений сред коэффициент отражения по модулю близок к единице и большая часть звуковой энергии отражается обратно в первую среду. В этом случае часто говорят, что среды «не согласованы» между собой (термин заимствован из теории электрических цепей). Естественно возникает вопрос о согласовании

сред, или (на этот раз заимствуем термин из оптики) о просветлении границы раздела между средами, путем помещения между ними некоторого слоя. Такое просветление очень важно, например, в вопросах излучения звука в среду, резко отличающуюся по волновому сопротивлению от материала излучателя, а также в звуковой оптике, где отражения на границах звуковых линз не только уменьшают фокусируемую энергию, но и создают «фон» несфокусированного звука, ослабляющий контрастность акустического изображения (снова аналогично ситуации в оптических приборах, с той разницей, что коэффициенты отражения в акустике, как правило, велики по сравнению с отражением света от границы стекла с воздухом).

В качестве просветляющего слоя в акустике можно применить резонатор типа «пружинка—масса», составленный из сосредоточенной упругости к и сосредоточенной массы Пусть такой резонатор вставлен между средами с волновыми сопротивлениями причем Тогда для гармонической волны, падающей из первой среды, просветление можно получить, если резонатор вставлен пружинкой в сторону падающей волны. В самом деле, в этом случае масса резонатора будет нагружена на волновое сопротивление второй среды так что импеданс нагруженной массы равен проводимость нагрузки на пружину равна, следовательно, Но проводимость сосредоточенной упругости складывается с проводимостью нагрузки. Следовательно, входная проводимость нагруженного осциллятора равна

Для того чтобы отражение отсутствовало и прохождение было полным, требуется выполнение равенства Приравнивая вещественные части этого равенства, получим

Частота полного пропускания оказывается меньше резонансной частоты осциллятора. Элементы осциллятора данной частоты найдем, приравнивая мнимые части равенства

Легко проверить что подобранный таким образом осциллятор даст полное просветление и для волны, падающей со стороны второй среды; при этом расположение элементов осциллятора должно оставаться прежним; элемент упругости должен прилегать к более жесткой среде, а элемент массы — к менее жесткой. Одинаковое прохождение с одной и с другой стороны — пример «принципа взаимности» в акустике.