§ 54. Отражение и прохождение звука на границе двух сред

Обозначим плотности и медленности звука в первой и второй сред? соответственно через и рассмотрим падение на границу волны вида

Если отражение правильное (условие правильности выясним ниже), то, как уже было сказано, отраженную и прошедшую волны можно записать в виде

Например, для падающей гармонической волны

отраженная и прошедшая волны равны

В написанных выше формулах величины неизвестные пока коэффициенты отражения и прохождения, которые должны быть определены из граничных условий. Углы скольжения связаны формулами (53.6), (53.7).

Граничные условия — это равенство давлений и нормальных скоростей частиц по обе стороны границы раздела сред. На касательные компоненты скорости никаких ограничений в идеальных средах не накладывается: в решении, которое мы найдем, эти компоненты окажутся различными. Получающийся разрыв касательной компоненты скорости частиц на границе совместим с принятым предположением об идеальности среды, т. е. об отсутствии вязкости. Для реальных жидкостей разрыв сглаживают вязкие волны, описанные нами в § 19. Обычно они мало влияют на картину отражения и прохождения; поэтому мы пока пренебрежем ими, считая жидкость идеальной (см. впрочем ниже § 58).

Так как на границе аргументы функции одинаковы для всех трех волн, то граничные условия можно записать для волны любой формы в виде

Первое уравнение совпадает с соответственным уравнением для нормального падения (первое уравнение (43.1)). Это объясняется тем, что давление — скаляр, и поэтому условие, на него налагаемое, не связано с направлением распространения волн. Второе уравнение иное, чем для нормального падения: в него входят нормальные компоненты векторов скорости частиц, которые зависят не только от величины, но и от направления этих векторов.

Решая уравнения (54.1) относительно коэффициентов отражения и прохождения, найдем

или, через волновые сопротивления,

В отличие от случая нормального падения, коэффициенты оказались зависящими не только от свойств самих сред, но и от угла

скольжения падающей волны. В частности, при одинаковых волновых сопротивлениях обеих сред, но неравных плотностях и скоростях звука в отдельности, коэффициент отражения не равен нулю.

Пользуясь принятыми ранее обозначениями, можем переписать формулы (54.2) в таком виде:

Из этих формул можно исключить угол скольжения преломленной волны при помощи (53.7):

Наконец, деля числитель и знаменатель на , получим формулы, куда входит только одна тригонометрическая функция:

Полученные выражения для формулы Френеля для наклонного падения.

В различных задачах удобно пользоваться то одним, то другим представлением этих коэффициентов.

Из (54.5) видно, что при отражение и прохождение — правильные при любом угле скольжения падающей волны. При правильность сохраняется только при углах скольжения падающей волны, больших так называемого критического угла скольжения определяемого равенством

При меньших значениях угла скольжения («закритических» углах) выражения для и теряют смысл (становятся мнимыми). Картина отражения и прохождения при закритических углах более сложна и упрощается только для гармонических волн (см. § 56).