§ 71. Волноводы с идеальными стенками

Свойства нормальных волн проиллюстрируем на примере волноводов с идеальными стенками. Пусть обе стенки абсолютно жесткие. Условие абсолютной жесткости стенок — это требование обращения в нуль z-компоненты скорости частиц на стенках. Согласно формуле (70.9) для того, чтобы условие было выполнено на нижней стенке, должно быть Условие на верхней стенке принимает тогда вид откуда находим

где - любое целое число. Таким образом, нормальная волна в волноводе с жесткими стенками имеет вид

(для определенности выбираем волны, бегущие вправо). Компоненты скорости частиц выражаются формулами

Целое число называют номером нормальной волны. Оно дает число нулей (узлов давления) в поперечном распределении амплитуды давления.

Рис. 71.1. а) Распределение давлений и -компоненты скорости частиц для первых трех нормальных волн (не считая нулевой) в волноводе с жесткими стенками;

б) распределение -компоненты скорости частиц для этих волн.

На рис. 71.1 слева показано распределение давления для нескольких первых номеров нормальных волн; одновременно эти графики дают в некотором масштабе распределение х-компоненты скорости частиц; справа дано распределение z-компоненты скорости. По высоте волновода укладывается целое число полуволн, равное номеру нормальной волны. Так как величина для данного номера нормальной волны не зависит от частоты, то эти длины полуволн никак не связаны с длиной волны звука данной частоты в неограниченной среде: в данном случае распределение давлений поперек волновода в данной нормальной волне не зависит от частоты звука, а только от номера волны и от высоты волновода; оно не зависит и от свойств среды, заполняющей волновод. Это распределение поперек волновода в данной нормальной волне полностью совпадает по форме с распределением давления в узкой трубе длины закрытой с обеих сторон абсолютно жесткими крышками, при собственном колебании того же номера, что и данная нормальная волна.

В волноводе абсолютно жесткими стенками существует нулевая нормальная волна вида Для нее нет соответственного собственного колебания в трубе. Это — обычная плоская волна, какая распространяется и в

неограниченной среде. Она не типична для волноводов: она, в частности, не имеет дисперсии. Для всех номеров, не равных нулю, распространение типично волноводное.

Рис. 71.2. Дисперсионные кривые фазовых и групповых скоростей в волноводе с жесткими стенками. Горизонтальная прямая - «дисперсионная кривая» для нулевой нормальной волны (фазовая и групповая скорости постоянны и равны скорости звука в неограниченной среде.)

Дисперсионное уравнение для волновода с жесткими стенками можно записать в виде

Фазовая скорость равна

Так как для данного номера нормальной волны от частоты не зависит, то групповая скорость равна

За исключением волны нулевого номера, фазовые скорости всех нормальных волн выше скорости звука в среде, а групповые — ниже этой скорости. При увеличении частоты фазовая скорость монотонно убывает, стремясь к с асимптотически сверху, а групповая — растет, стремясь к с снизу. При критической частоте фазовая скорость данной нормальной волны равна бесконечности, а групповая — нулю. Для данной частоты фазовая скорость тем выше (а групповая тем ниже), чем выше номер нормальной волны. Для неоднородных нормальных волн показатель экспоненты затухания тем больше, чем выше номер волны.

На рис. 71.2 дан график частотной зависимости фазовых и групповых скоростей нескольких нормальных волн первых

номеров. В качестве аргумента взята удобная при изучении волноводов безразмерная величина пропорциональная частоте; этой величиной часто будем пользоваться как аргументом и в дальнейшем. Проводя на графике прямую, параллельную оси абсцисс, найдем значения аргумента для волн разных номеров, имеющих одинаковые фазовые (и групповые) скорости. Любая сумма нормальных волн этих частот, взятых с произвольными амплитудами, распространяется в волноводе без изменения формы. Две разные нормальные волны имеют равные фазовые или групповые скорости, если их частоты относятся как их номера. Следовательно, дисперсионные кривые волн разных номеров переходят друг в друга при однородном растяжении графика; абсциссы точек пересечения графиков с любой горизонтальной прямой образуют арифметическую прогрессию.

Набор критических частот в волноводе с жесткими стенками совпадает с набором собственных частот в трубе длиной с жесткими крышками. При дальнейшем понижении частоты ниже критического значения распространение данной нормальной волны прекращается и она превращается в неоднородную. При этом распределение давления поперек волновода остается таким же, как и при частотах выше критической. Прекращение распространения называют запиранием волновода для данной нормальной волны.

Если волновод оказался запертым для какого-либо номера, то он будет заперт и для всех волн высших номеров. Для нулевой нормальной волны критической частоты нет (условно, для общности, можно считать, что критическая частота есть, но равна нулю): для нее волновод не запирается ни при какой конечной частоте, и эта волна в волноводе с жесткими стенками всегда распространяющаяся. Из других нормальных волн при данной частоте распространяются только те, для которых при частотах ниже первой критической высота волновода меньше половины длины волны звука данной частоты) распространяется только волна нулевого номера; все остальные нормальные волны неоднородные. Следовательно, такая труба узкая (см. § 61).

Узкие трубы часто применяют с целью получить в них плоскую волну (такие трубы применяются, например, для измерения импедансов материалов). Мы уже знаем, что в неограниченном пространстве создать плоскую волну невозможно, а в узкой трубе, какой бы излучатель ни создавал гармоническое звуковое поле, на некотором расстоянии от него в волноводе будет бежать только плоская волна вида остальные нормальные волны, которые могли создаться источником, неоднородные, и их поле быстро затухает при удалении от источника. В широкой трубе получить поле плоской волны в чистом виде трудно, так как в ней могут распространяться и волны высших порядков. Это обстоятельство ограничивает на практике поперечные размеры труб, используемых для создания в них плоских волн.

В широкой трубе также можно создать плоскую волну, пользуясь специальным источником, например, излучая звук пластинкой, закрывающей все сечение трубы, совершающей колебания поршневого типа и не возбуждающей волн высших порядков. Но если излучатель не чисто поршневой или если в волноводе имеются какие-либо неровности, то нормальные волны высших порядков в волноводе появятся и поле нулевой нормальной волны будет в той или иной степени этими волнами искажено. Только в узкой трубе любое искажение формы плоской волны экспоненциально затухаег вдоль нее и поэтому практически не сказывается.

Представление нормальной волны в виде пары плоских волн имеет для волновода с жесткими стенками вид

Углы скольжения этих волн определяются зависимостью

Фазовая скорость выражается через этот угол скольжения (как и для любого волновода) формулой (70.12). Групповая скорость в волноводе с жесткими стенками равна . Для наглядной интерпретации этого выражения достаточно представить себе, что вместо монохроматической волны взята волна с узким спектром — длинный В неограниченной среде скорость цуга равна с. Но в волноводе нормальная волна образована последовательными отражениями плоской волны от стенок, происходящими подобно отражениям мяча, брошенного об стенку под углом проходит зигзагообразный путь, двигаясь вдоль зигзагов со скоростью с. Поэтому вдоль оси волновода его перемещение происходит со скоростью с , т. е. с групповой скоростью.

Для волновода с абсолютно мягкими стенками найдем нормальные волны, полагая Нормальные волны в таком волноводе имеют вид

Компоненты скорости частиц равны

Нулевая волна отсутствует. Ниже частоты критической частоты для нормальной волны номера 1 — никакая волна в

данном волноводе распространяться не может. Поперечные распределения давления и z-компоненты скорости совпадают с распределениями соответственных величин в трубе с открытыми концами. Критические частоты, фазовые и групповые скорости в волноводе с мягкими стенками даются теми же формулами, что и для волновода с абсолютно жесткими стенками. Таким образом, график дисперсионных кривых обоих типов волноводов одинаковый (за исключением линии нулевой волны, отсутствующей для волновода с мягкими стенками). Для волновода с мягкими стенками представление нормальной волны в виде пары плоских волн имеет вид

Углы скольжения этих волн определяются формулой (71.6).

Наконец, в волноводе с одной жесткой и одной мягкой стенкой (для определенности за жесткую стенку примем границу нормальные волны имеют вид

что соответствует и граничному условию на верхней границе , где Здесь также отсутствует нулевая волна. Критические частоты образуют последовательность, пропорциональную нечетным целым числам: как собственные частоты в трубе с одной жесткой и одной мягкой стенкой. Нормальная волна выражается в виде суммы двух плоских волн следующим образом:

Углы скольжения плоских волн определяются из соотношения

Фазовая и групповая скорости равны соответственно