§ 97. Мощность, излучаемая при совместном действии близкорасположенных монополей

Изменение мощности, излучаемой близкорасположенными монополями при их совместной работе, обычно считают парадоксальным потому, что оно происходит при неизменности объемных скоростей излучателей: излучатели продолжают работать «так же», как и в одиночку.

Разрешение парадокса заключается в следующем. Пусть два одинаковых монополя работают синфазно. Мощность, излучаемая данным монополем, например пульсирующей сферой, равна его объемной скорости (она по условию остается неизменной), умноженной на активную компоненту давления на поверхности сферы (т. е. на компоненту, синфазную с объемной скоростью, см. § 39). Но данный излучатель работает теперь, находясь в поле давлений другого излучателя. Поэтому поле на его поверхности складывается из «собственного» давления и добавочного давления, создаваемого на его поверхности вторым излучателем. Если радиусы сфер малы по сравнению с расстоянием между ними, добавочное давление можно считать распределенным на поверхности сферы равномерно, так же как и собственное давление излучателя. Давление, создаваемое монополем, можно записать в следующем виде:

При малой величине активная часть давления определяется вторым членом в скобках и равна (реактивная часть определяется первым членом). Мы видим, что она не зависит от расстояния, пока, конечно, членами высших порядков можно пренебрегать, т. е. пока величина достаточно мала по сравнению с единицей. Значит, для каждого из двух близких одинаковых синфазных монополей активная компонента давления, создаваемая одним из них на поверхности другого, равна активной компоненте давления, создаваемого самим излучателем; в результате активное давление удваивается, а значит, удваивается и излучаемая мощность независимо от расстояния между излучателями, пока оно остается малым по сравнению с длиной волны.

Что же касается суммарного добавочного давления (суммы реактивного и активного давления на поверхности излучателя),

то оно изменяется примерно обратно пропорционально расстоянию между излучателями, однако фаза этого суммарного давления изменяется при этом как раз так, что активная компонента остается без изменения. Рис. 97.1 иллюстрирует это утверждение. Та же картина получится и при приближении монополя к жесткой стенке: добавочное активное давление на поверхности пульсирующей сферы создается в этом случае волнами, отраженными от стенки.

Для излучения дополнительной энергии требуется большая работа от первичного двигателя излучателя. Если пульсирующая сфера сама по себе есть колебательная система, совершающая свободные колебания, например газовый пузырек в воде, амплитуда колебаний которого убывает в результате расходования

Рис. 97.1. Приближенный график изменения вещественной и мнимой частей давления, создаваемого монополем при увеличении расстояния от него, пока это расстояние остается малым по сравнению с начальной энергии на излучение, то при приближении пузырька к стенке пульсации будут затухать вдвое скорее.

При синфазной работе многих близкорасположенных излучателей мощность, излучаемая каждым из них, растет пропорционально числу излучателей. Поэтому мощность излучения тесной группы одинаковых синфазных излучателей равна мощности одного из них, работающего в одиночку, умноженной на квадрат числа излучателей.

Если же в группе излучателей каждые два из них находятся друг от друга на расстоянии, большом по сравнению с длиной волны, то добавочное активное давление на поверхности каждого из них, обусловленное всеми остальными, мало по сравнению с активным давлением, обусловленным действием самого этого излучателя. Поэтому суммарная мощность излучения такой группы равна (почти в точности) просто сумме мощностей отдельных излучателей. Для такой рассредоточенной группы одинаковых излучателей суммарная излученная мощность равна мощности одного из излучателей, умноженной на число излучателей, причем относительные фазы излучателей безразличны. Мощность, излучаемая одним излучателем, расположенным далеко (по сравнению с длиной волны) от жесткой стенки, равна мощности при излучении в неограниченную среду. Конечно, при этом в некоторых участках интерференционной картины, получающейся при наложении полей всех излучателей, мощность может оказаться больше (например, для двух одинаковых излучателей мощность может быть вчетверо большей, чем мощность одного излучателя в этом же

месте); но это будет компенсироваться (почти полностью) тем, что в других местах мощность излучения будет мала.

Если сдвиг фаз между объемными скоростями двух одинаковых излучателей, расположенных близко друг от друга, равен 90°, то соседство другого излучателя не оказывает влияния на суммарную мощность, излучаемую обоими. Это видно из того, что в этом случае амплитуда объемной скорости эквивалентного монополя равна гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными объемным скоростям составляющих излучателей. И вообще, при сдвиге фаз на 90° результирующая объемная скорость равна гипотенузе прямоугольного треугольника, построенного на составляющих объемных скоростях как на катетах. Сложение излученных мощностей есть в этом случае акустическое выражение теоремы Пифагора.

Интересно, что в этом случае реактивные мощности обоих излучателей находятся в противофазе. Действительно, при умножении объемной скорости на реактивная компонента давления также умножается на , что дает в результате для реактивной мощности умножение на На этом обстоятельстве основан способ устранения реактивной нагрузки присоединенной массы, передающейся на первичный двигатель излучателя. В самом деле, пусть кинематическая схема некоторого низкочастотного излучателя включает вал, приводящий своим вращением в движение рабочий элемент излучателя (например, выдвигает поршень). Нагрузка на поршень передается и на вал, в результате чего вал должен передавать как активный, так и реактивный (превышающий активный в отношении момент вращения. Мгновенная мощность мотора должна поэтому значительно превышать активную мощность излучателя. Навесим на вал второй такой же излучатель, сдвинутый по фазе на 90° от первого. Суммарное излучение звука удвоится по мощности. Реактивные же моменты на валу будут взаимно противоположны и, взаимно уничтожаясь, будут только скручивать вал, не передавая нагрузку на мотор, который должен будет развивать только активную мощность. При низких частотах эта мощность мала по сравнению с реактивной мощностью, и такое устройство позволяет резко снизить требуемую мощность мотора.

Для двух близкорасположенных одинаковых противофазных монополей с объемными скоростями результирующее поле равно, согласно (96.1),

Таково, в частности, поле монопольного излучателя, расположенного вблизи абсолютно мягкой поверхности, напримерч монополя в воде на малой глубине под свободной поверхностью Вторым монополем противоположной фазы явится в этом случае мнимое изображение данного монополя в свободной поверхности,

как в зеркале. Амплитуда (вдали от излучателей при такого модулю к одного монополя с той же объемной скоростью как Результирующее поле мало, так как поля обоих монополей почти уничтожают друг друга; точное уничтожение достигается в плоскости, перпендикулярной к прямой, проходящей через монополи

При удалении от этой плоскости полного уничтожения не происходит вследствие небольшого различия в расстояниях до излучателей , а также набегающей небольшой разности фаз . Поэтому, как мы видели в § 96, поле оказывается не сферически-симметричным: характеристика направленности — восьмёрка, имеющая только вращательную (цилиндрическую) симметрию относительно оси, проходящей через излучатели.

Мощность, излучаемая двумя близкорасположенными противофазными монополями в данном направлении, относится к мощности, излучаемой одним монополем, как . Поэтому полная мощность, излучаемая двумя монополями, будет относиться к мощности одного монополя как , где черточка означает усреднение по всем направлениям. Среднее значение квадрата косинуса по всем направлениям равно

Таким образом, отношение излучаемых мощностей равно а так как мощность излучения одного монополя равна то излучение двух противоположных монополей равно

Отсюда следует, что мощность излучения одного монополя вблизи свободной поверхности среды равна

Иногда нужно найти мощность излучения тесно расположенной группы излучателей одинаковой частоты, работающих случайными независимыми фазами. По определению это есть среднее значение излучаемой мощности для групп со всевозможными равновероятными соотношениями между фазами. Можно доказать, что среднее значение излучаемой мощности равно в этом случае мощности отдельного излучателя, умноженной на число излучателей.

Докажем эту теорему для простейшего случая, когда фазы излучателей могут принимать только два значения: , причем

оба значения равновероятны. Для двух излучателей теорема очевидна. В самом деле, возможны следующие равновероятные комбинации фаз обоих излучателей: плюс—плюс, плюс—минус, минус—плюс, минус—минус. Примем мощность излучения отдельного излучателя за единицу. Тогда мощность первой и последней комбинаций равна 4, а мощности второй и третьей — нулю. Среднее значение по всем четырем возможным комбинациям действительно равно в этом случае 2.

Теорему для любого числа излучателей докажем методом индукции. Допустим, что утверждение верно для группы, из некоторого числа излучателей. Если для какого-либо из комбинаций фаз разность числа излучателей с положительной и с отрицательной фазой равна то излучаемая мощность для этой комбинации равна Добавим к группе еще один излучатель, фаза которого также с одинаковой вероятностью может принимать значение 0 и значение Если дополнительный излучатель имеет фазу 0, то мощность излучения увеличенной группы станет равна если он имеет фазу то мощность излучения станет равна Полусумма этих выражений равна , и, значит, среднее изменение излучаемой мощности при добавлении к данной группе еще одного излучателя равно единице, какова бы ни была исходная комбинация фаз в группе. Поэтому и добавка к средней мощности, рассчитанной по всем возможным комбинациям фаз, также равна единице, что и доказывает сделанное утверждение.