§ 77. Стоячие волны в помещении

Возьмем прямоугольный волновод с жесткими стенками и ограничим его двумя поперечными жесткими стенками. Получилось прямоугольное помещение, в котором могут существовать стоячие волны, соответствующие различным: нормальным волнам в волноводе. Это — собственные колебания помещения, обобщение

собственных колебаний узких труб на большее число измерений. В отличие от волновода, здесь, как и в ограниченной трубе, теряется возможность непрерывного изменения частоты, так как граничные условия на третьей паре стенок выделят для каждого номера нормальной волны дискретный набор частот. Выбирая в качестве координатных осей три ребра помещения, собственное колебание в помещении можем записать в виде

где целые числа, длины ребер помещения. Найденную волну можно представить также в виде суперпозиции восьми бегущих плоских волн вида

Каждая из таких волн переходит в одну из других при отражениях на стенках волновода.

Величины

равны соответственно компонентам волновых векторов этих волн по осям координат. Следовательно, волновое число волны должно равняться

откуда получим частоту колебания порядка в виде

Число нормальных волн с частотой не выше заданной, возможных в данном помещении, быстро растет при повышении заданной частоты.

Приведем геометрическое построение, дающее волновые векторы всех плоских волн, составляющих стоячие волны в данном прямоугольном помещении, для которых частота не выше некоторой заданной величины. Для этого построим в пространстве прямоугольную решетку с расстояниями между узлами соответственно по осям х, у, z. Как видно из (77.2), вектор, проведенный из начала координат в какой-либо узел решетки, дает по направлению и по величине один из восьми волновых векторов возможного собственного колебания в помещении. Достаточно даже рассматривать только один октант решетки и соответственно волновой вектор только одной из восьми волн, образующих собственное колебание: остальные получатся последовательными отражениями в координатных плоскостях.

Пусть задана некоторая частота и соответствующее ей волновое число равно Опишем из начала координат сферу радиуса Все узлы решетки, попадающие внутрь сферы или лежащие на ее поверхности, имеют значение волнового числа не больше а значит, и частоту не выше заданной. Если заданный волновой вектор много больше каждой из величин то можно оценить асимптотически общее число таких волн. В самом деле, искомое число внутренних по отношению к сфере узлов решетки равно числу ячеек решетки, не пересекаемых сферой. Если размеры ячейки малы по сравнению с радиусом сферы, то число пересекаемых ячеек относительно мало и им можно пренебречь по сравнению с общим числом ячеек в сфере. Но тогда искомое число можно найти просто как отношение одной восьмой объема сферы к объему одной ячейки:

где через обозначен объем помещения, длина волны звука. Формула показывает, что число нормальных колебаний частоты заданной растет асимптотически как объем помещения и как куб частоты.

Например, для помещения объемом (обычная комната) число нормальных колебаний частоты ниже 1000 гц превосходит 4500, а в концертных залах оно составляет уже миллионы. Ясно, что в таких помещениях резонансные свойства оказываются совершенно стертыми, так как частоты отдельных колебаний располагаются друг от друга настолько близко, что резонансные кривые всех колебаний (за исключением самых низких, недоступных слуху) перекрывают друг друга.

На рис. 77.1 показано соответственное построение для плоского случая, когда искомое число следует определять как отношение четверти площади окружности радиуса к площади одной двухмерной ячейки двухмерной решетки. Соответственная формула имеет вид

Рис. 77.1. Двухмерная иллюстрация геометрического способа подсчета числа собственных колебаний в помещении, имеющих частоты ниже заданной. Формула (77.5) дает для выбранного примера 48 колебаний; фактический подсчет (число заштрихованных прямоугольничков, целиком лежащих внутри окружности) дает всего 41 собственное колебание. Большая относительная погрешность связана с малым общим числом волн. Из чертежа ясно, что формула дает всегда завышенное число собственных колебаний.