§ 62. Гармонические волны в узкой трубе

Хотя в данной главе мы будем изучать стоячие волны, сделаем предварительно несколько замечаний о распространении звука в неограниченных узких трубах. В таких трубах могут распространяться гармонические волны любой частоты. Самый общий вид

гармонической волны данной частоты можно записать, например, в одном из следующих видов (множитель , как обычно, опускаем):

Любую из этих трех формул можно получить из любой другой соответственным подбором коэффициентов (вообще говоря, комплексных), и любая из этих формул может изображать как бегущую, так и стоячую волну, а также квазистоячую волну с любой степенью бегучести. Так, бегущую волну можно получить из формулы (62.1), если положить в ней из формулы (62.2), если положить в ней и из формулы (62.3), если положить в ней а и устремить а к

В каждое из выражений (62.1), (62.2) и (62.3) входят четыре произвольные постоянные: вещественные и мнимые части величин или А и а.

Фазу комплексной амплитуды бегущей волны можно изменить как угодно, как переносом начала отсчета времени, так и переносом начала отсчета координат; для бегущей волны таким подбором начала отсчета всегда можно получить, например, вещественную амплитуду. Для стоячей волны переносить начало отсчета координат нельзя, не меняя формы записи (например, при смещении начала координат на четверть волны функция переходит в начало отсчета определено с точностью до целого кратного длины волны.

Обычно запись (62.1) (при или применяют для бегущих волн, а запись (62.2) и (62.3) — для стоячих волн, хотя, как указано выше, можно, пользуясь комплексными постоянными, переходить от одной формулы к другой. Но при выборе вещественных значений амплитуд и фаз термин «стоячая волна» по отношению к записи (62.2) или (62.3) или термин «бегущая волна» по отношению к записи (62.1) имеют обычный смысл. В дальнейшем будем считать, что амплитуды и фазы вещественны.

Любую гармоническую волну в трубе можно представить в виде суперпозиции стоячей и бегущей волны. Действительно, (62.1) при любых можно записать в виде

В этой записи волна представлена в виде суперпозиции стоячей волны и волны, бегущей в положительном направлении. Это не значит, однако, что энергия в волне также переносится в положительном направлении. В самом деле, ту же волну можно представить как суперпозицию стоячей волны и волны, бегущей в отрицательном направлении:

Таким образом, разбиение данной волны на стоячую и бегущую неоднозначно. Парадокса с направлением переноса энергии нет, так как потоки энергии в данном случае не аддитивны: мы видели в § 39, что аддитивность имеет место только для бегущих волн. Перенос энергии (в той степени, в которой о нем можно говорить для гармонических волн) будет происходить в ту сторону, для которой модуль амплитуды А или В больше.