ГЛАВА IX. СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ

§ 82. Сферические волны

В предыдущих главах мы подробно изучили плоские волны. Перейдем теперь к не менее важному типу волн — сферическим волнам, т. е. к волнам со сферическими фронтами. С такими волнами мы встречаемся в первую очередь при изучении источников и приемников звука, а также в вопросах рассеяния звука.

Мы видели, что плоскую волну реально можно создать только в ограниченной области, например в среде, заполняющей трубу с абсолютно жесткими стенками. Для создания плоской волны в неограниченном пространстве потребовался бы неосуществимый излучатель бесконечных размеров — колеблющаяся плоскость.

Иначе обстоит дело со сферическими волнами. Любое колеблющееся тело конечных размеров создает вдали от тела волну сферической формы. Вблизи от такого источника звука фронты волн могут иметь и другую форму. Например, вблизи кварцевой пластинки, колеблющейся с ультразвуковой частотой, фронты волн имеют вид участков плоскости; волна становится сферической лишь асимптотически, при удалении от источника звука на большое расстояние. Но, в отличие от плоских волн, реальная волна по мере распространения все более приближается к сферической, а при некоторых видах колебаний тела идеально сферическая волна излучается, прямо начиная с поверхности тела.

Сферические волны не обязательно сферически-симметричны, т. е. амплитуда волны вдоль фронта не обязательно одинакова во всех точках.

В сферических волнах поле убывает по мере удаления от центра волны, причем, как будет показано, начиная с достаточно большого расстояния давление и скорость частиц убывают обратно пропорционально расстоянию от центра, а плотность энергии — обратно пропорционально квадрату этого расстояния. Этот «закон обратных квадратов» связан с конечностью скорости звука и справедлив в общем случае только при отсутствии дисперсии. Для иллюстрации рассмотрим, например, сферу, которую расширили

от первоначального до какого-то нового радиуса. При отсутствии дисперсии в среде побежит сферически-симметричная волна в виде расширяющегося шарового слоя толщины где Т — время расширения сферы. Вне слоя возмущения еще нет, а внутри него — уже нет. Если волна ушла на такое расстояние, что средний радиус возмущенного слоя стал уже намного больше толщины слоя, то объем, занятый возмущением, можно считать приближенно пропорциональным Но в силу закона сохранения энергии суммарная энергия в слое должна оставаться неизменной, а так как плотность энергии пропорциональна квадрату амплитуды волны, то отсюда и следует указанный закон убывания.

Если сфера не просто расширяется от одного радиуса до другого, а совершает какое-нибудь другое движение, то расстояние, начиная с которого справедлив закон обратных квадратов, следует определять, беря в качестве Т характерное время процесса. Например, для гармонических пульсаций сферы следует взять в качестве Т период колебаний; расстояние в этом случае должно быть много больше длины волны.

При наличии дисперсии закон обратных квадратов справедлив только для гармонических сферических волн, так как в этом случае только они не меняют своей формы при распространении.

Если условие не выполнено, то приведенные рассуждения несправедливы и убывание плотности энергии не подчиняется закону обратных квадратов. Например, в несжимаемой среде, где это условие никогда не выполняется, так как любое возмущение охватывает мгновенно все пространство, скорость частиц убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, и поэтому плотность энергии убывает обратно пропорционально четвертой степени расстояния.

В отличие от плоских волн, в сферической волне профиль, строго говоря, не остается неизменным даже в отсутствие дисперсии: действительно, амплитуда волны убывает при удалении от центра. Мы увидим, что для сферически-симметричных волн остается неизменным профиль величины Для скорости частиц такая нормировка возможна только вдали от центра: вблизи амплитуда скорости убывает быстрее — обратно пропорционально квадрату расстояния.

Отметим замечательное свойство сферических волн: полный импульс сферической волны, длящейся конечное время, равен нулю в любой точке среды. В самом деле, в качестве такой сферической волны можно взять любую волну, создаваемую произвольными начальными возмущениями конечной области пространства, либо излучателями, действующими в течение конечного времени. Импульс выразится интегралом от давления в пределах от до Интегрируя по времени в бесконечных пределах уравнение движения

найдем для любой точки

Так как по предположению скорость частиц на бесконечных пределах равна нулю, то градиент интеграла также равен нулю, а это значит, что импульс должен быть постоянен во всем пространстве. Но при удалении на бесконечность от места создания волны давление убывает, стремясь к нулю. Значит, эта постоянная равна нулю, и во всех точках среды должно иметь место равенство

Отсюда следует, в частности, что сферическая волна не может состоять только из области сжатия, бегущей по среде, или только из области разрежения, но обязательно включает как сжатие, так и разрежение. Напомним, что, в отличие от сферических волн, в плоских волнах возмущения чистого сжатия или чистого разрежения возможны (см. § 20).

Есть еще одно принципиальное различие между плоскими и сферическими возмущениями: в несжимаемой среде никакого плоского возмущения быть не может, в то время как сферическое возмущение в несжимаемой среде возможно — например возмущение, вызываемое пульсациями или осцилляциями любого тела. На расстояниях, малых по сравнению с длиной волны, распределение скоростей частиц и распределение давлений в сжимаемой среде мало отличаются от распределений этих величин в несжимаемой среде при тех же пульсациях или осцилляциях тела