§ 70. Нормальные волны. Плоская задача

Изучение волноводного распространения начнем с простейшего случая — с плоской задачи. Пусть волновод образован однородной средой, заполняющей слой между двумя параллельными стенками или трубу прямоугольного сечения. Координатную плоскость выберем на одной из стенок и ограничимся пока движениями, происходящими параллельно плоскости и не зависящими от координаты у. Стенки волновода будем считать непроницаемыми для звука. Значит, в направлении оси волна должна быть стоячей.

Поэтому гармоническую волну частоты и, бегущую вдоль волновода без изменения формы, можно записать в виде

где верхний и нижний знаки относятся к волнам, бегущим вправо и влево соответственно. Продольная и поперечная компоненты волнового числа должны удовлетворять соотношению

Следовательно, нормальную волну можно записать также в таком виде:

Величины определяются из граничных условий на стенках волновода, т. е. при где высота волновода. В зависимости от конструкции стенок граничные условия могут зависеть от частоты, но могут и не зависеть. Мы увидим ниже, что при каждой частоте граничные условия определяют не одноединственное значение , но бесконечный ряд дискретных значений, каждому из которых соответствует своя нррмальная волна.

Будем нумеровать нормальные волны в порядке возрастания .

Отметим здесь аналогию нормальных волн с собственными колебаниями среды в ограниченной узкой трубе, где также существует дискретный бесконечный набор (стоячих) волн. Однако в трубе каждое собственное колебание может существовать только на одной-единственной частоте, в то время как нормальная волна в волноводе возможна при любой частоте. Поведение данной нормальной волны существенно зависит от частоты. Для частот, при которых значение вещественно и волна распространяющаяся; при значение мнимое и волна (неоднородная с экспоненциальным изменением амплитуды вдоль волновода) превращается всинфазное колебание среды во всех точках:

Как и неоднородные бегущие волны в неограниченной среде, неоднородные нормальные волны не могут существовать во всем волноводе, а только в том полуволноводе, в котором волна убывает, либо на конечном отрезке волновода. Частоту, при которой и, следовательно, называют критической. При частоте выше критической волна распространяющаяся, при частоте ниже критической — неоднородная. На самой критической частоте колебания в волноводе происходят синфазно по всей его длине, с постоянной амплитудой вдоль волновода. Волновод на этой частоте ведет себя как труба бесконечной ширины в направлении оси х с длиной, равной причем роль крышек играют стенки волновода. Критические частоты волновода — это собственные частоты такой трубы.

Каждую нормальную волну вида (70.1) удобно рассматривать как некоторую гармоническую волну, бегущую вдоль оси х, с фронтом, перпендикулярным к направлению распространения, но, в отличие от плоских волн в неограниченной среде, с амплитудой, меняющейся вдоль фронта (по косинусоиде). Волновое число такой волны есть Уравнение (70.2) можно считать дисперсионным уравнением нормальных волн: оно связывает волновое число с частотой, входящей в уравнение явно (через посредство и неявно (через посредство , в случае зависимости этой величины от частоты). Если волна распространяющаяся, можно ввести понятие фазовой скорости нормальной волны у:

Так как в распространяющейся волне то фазовая скорость нормальных волн больше скорости звука в среде (исключительный случай рассмотрим в § 72). Бесконечность фазовой скорости при критической частоте выражает синфазность колебаний по всей длине волновода.

Продольная компонента скорости частиц в данной нормальной волне равна

Распределение продольной компоненты скорости совпадает, таким образом, с распределением давления. Соотношению для плоских волн в неограниченной среде соответствует соотношение в нормальной волне. Величина аналог волнового сопротивления для нормальной волны. Для нормальной волны скорость частиц в направлении распространения меньше, чем для плоской волны в неограниченной среде при том же значении давления.

Фазовая скорость данной нормальной волны зависит от частоты: волноводное распространение происходит с дисперсией. Для данного номера нормальной волны можно ввести понятие группы волн, так же как и для других одномерных волн, как суперпозиции нормальных волн одного и того же номера, но разных (близких) частот. Если спектр нормальной волны узкий, то волна имеет вдоль оси х вид длинного цуга и можно следить за его огибающей, скорость и которой и явится групповой скоростью данной нормальной волны. Согласно § 27, Дифференцируя обе части дисперсионного уравнения (70.2), найдем

откуда получим для групповой скорости выражение

Если в данном волноводе для данной нормальной волны от частоты не зависит, то получается следующее простое соотношение между фазовой и групповой скоростями:

В этом случае групповая скорость нормальной волны всегда меньше скорости звука. Замечательно, что иногда групповая скорость в волноводе может быть больше скорости звука в среде. Не останавливаясь подробно на этом вопросе, заметим только, что такое явление возможно, например, в тех случаях, когда стенки волновода сами представляют собой упругие среды со скоростью звука в них большей, чем в среде, заполняющей волновод.

Диспмзсия скорости звука в волноводах никак не связана со свойствами самой среды, заполняющей волновод: это — «геомет-рическая» дисперсия, обусловленная наличием границ. В этом отношении есть сходство между дисперсией в волноводе и дисперсией изгибных волн в стержнях, также обусловленной наличием

границ (хотя законы дисперсии в обоих случаях различны). В гл. XII мы познакомимся с дисперсией плоских волн в неограниченной среде, носящей другой характер и обусловленной именно свойствами среды.

Распределение поперечной компоненты скорости частиц дается формулой

Если ни , ни не зависят для данной нормальной волны от частоты, то поперечные распределения давления и обеих компонент скоростей также не зависят от частоты. Траектории частиц — эллипсы с осями, лежащими вдоль осей . В узлах давления эллипсы вырождаются в вертикальные отрезки, а в максимумах давления — в горизонтальные отрезки.

В неоднородной нормальной волне скорости частиц равны

Компоненты скорости оказываются синфазными, значит, траектории частиц — отрезки прямых линий. Наклон прямых меняется по высоте волновода: от горизонтального в точках до вертикального в точках Напомним, что для плоских волн ситуация обратная: траектории — отрезки прямых в однородных волнах и эллипсы в неоднородных волнах. В неоднородной нормальной волне амплитуда продольной компоненты скорости частиц может превышать скорость частиц в однородной плоской волне при той же амплитуде давления в данной точке.

Нормальную волну можно представить в виде суперпозиции двух плоских волн, бегущих под одинаковыми углами к оси волновода. Так, согласно (70.1) для волны, бегущей вправо,

компоненты волновых векторов составляющих плоских волн по осям Углы наклона волновых векторов к оси волновода — углы скольжения составляющих волн — определяются уравнением

Компонента скорости частиц вдоль оси волновода может быть записана через угол скольжения в виде

Фазовая скорость нормальной волны выразится через угол скольжения составляющих волн формулой

Фазовая скорость равна скорости следа составляющих волн на стенках волновода. Величина — волновое число следа.

Каждую из плоских волн, образующих нормальную волну, можно считать отражением второй из них на соответственной границе. Волна отражение волны в стенке а волна

— отражение волны в стенке Новым по сравнению с обычным случаем отражения от стенки является взаимность соотношения падающая — отраженная волна на обеих границах сразу. Именно требование этой взаимности и приводит к дисперсионному уравнению (70.2). При критической частоте

Нормальную волну можно интерпретировать еще одним способом: как участок интерференционной картины в неограниченной среде, образованной двумя плоскими волнами, наклоненными своими волновыми векторами под углами ±0 к оси х (ср. § 18). При этом на плоскостях отношение давления к z-компоненте скорости должно быть как раз равно импедансу стенок при данном угле скольжения. Тогда можно заключить в волновод участок интерференционной картины, не изменяя ее. Заключенная в волновод часть интерференционной картины и представит собой нормальную волну в волноводе. Например, если на этих плоскостях z-компонента скорости частиц обращается в нуль, то в среду можно вложить две бесконечные абсолютно жесткие плоскости не нарушая движения среды.

Представление нормальной волны в виде двух плоских волн возможно для неоднородных нормальных волн. В этом случае обе составляющие плоские волны тоже будут неоднородными, бегущими по оси z.