§ 130. Стоячие волны конечной амплитуды

Рассмотрим квадратичную поправку к стоячей волне в узкой трубе, ограниченной крышками с теми или иными акустическими свойствами: например, крышками абсолютно жесткими, абсолютно мягкими или крышками, характеризующимися каким-либо импедансом и т. п. В качестве волны первого порядка будем каждых раз брать стоячую волну линейной теории, полагая, что квадратичная поправка в начальный момент равна нулю. Мы увидим, что характер поправки существенно зависит от свойств крышек.

Пусть длина трубы равна Совместим начало координат с одним из концов трубы. Начнем со случая абсолютно жестких крышек с обеих сторон трубы. В качестве линейного приближения возьмем стоячую волну номера

В этом случае уравнение (124.9) для квадратичной поправки принимает вид

Как нетрудно убедиться прямой подстановкой, квадратичная поправка, удовлетворяющая начальному условию при это волна

Первые два члена в скобках дают давление, распределенное равномерно вдоль трубы и осциллирующее с двойной частотой вокруг среднего значения Третий член — стоячая волна удвоенного номера (вторая гармоника исходной волны) с амплитудой, нарастающей пропорционально времени, протекшему от начального момента. Аналогично случаю бегущей волны квадратичная поправка и здесь представляет собой вековой член — носит резонансный характер, что объясняется наличием в правой части уравнения члена являющегося для заданных граничных условий собственным решением уравнения без правой части.

Иначе обстоит дело в трубе со свободными концами. В такой трубе за волну первого порядка можно принять

Уравнение (124.9) для квадратичной поправки примет вид

В правой части этого уравнения нет слагаемого, совпадающего с решением уравнения без правой части и удовлетворяющего граничным условиям (обращение давления в нуль на концах трубы). Поэтому и решение не имеет резонансного характера: вековой член отсутствует. В самом деле, одним из частных решений уравнения является периодическая функция

Для получения решения, удовлетворяющего начальному условию, т. е. обращающегося в нуль в момент достаточно добавить к этому частному решению неоднородного уравнения решение однородного уравнения, также обращающееся в нуль на концах трубы, которое принимало бы в начальный момент значение

Дадим наглядное объяснение качественному различию результатов для разобранных двух случаев. Мы видели, что появление квадратичной поправки можно трактовать как результат, воздействия на среду сторонних объемных скоростей. В каждой точке трубы сообщаемая второй гармонике мощность равна произведению сторонней объемной скорости на давление в создаваемой волне. Поскольку сторонние объемные скорости имеют двойную частоту по сравнению с исходной волной, возбуждаться может только волна этой двойной частоты, т. е. волна двойного номера по сравнению с исходной. Но совпадения частот стороннего воздействия и волны недостаточно для того, чтобы происходила перекачка энергии в волну. Действительно, распределение объемной скорости вдоль трубы в обоих случаях имеет вид постоянную составляющую можно не учитывать, так как для всех номеров нормальных волн, кроме первого (в трубе с открытыми концами) работа постоянной составляющей равна нулю. В трубе с жесткими крышками распределение давлений в волне двойной частоты также имеет вид и поэтому работа в каждой точке .всей трубы положительна, в результате чего энергия перекачивается во вторую гармонику. Для трубы же с мягкими крышками давление во второй гармонике распределено по закону ортогонально к распределению сторонних объемных скоростей: работа в разных точках трубы имеет разные знаки, а в целом по трубе равна нулю. В результате вековых членов нет.

В трубе с одной абсолютно жесткой и другой абсолютно мягкой крышкой вторая гармоника не возникнет, потому что в наборе собственных колебаний такой трубы нет четных гармоник: частоты различных номеров колебаний относятся как Наконец,

если крышки в трубе не идеальные, а, например, характеризуются каким-либо импедансом, то набор собственных колебаний в такой трубе также вообще негармонический, так что для какого-либо номера собственных колебаний не найдется колебаний двойной частоты. Сторонние же объемные скорости всегда имеют двойную по отношению к исходной волне частоту. Во всех этих случаях (за исключением двух абсолютно жестких крышек) частота возможных нормальных колебаний не совпадает с частотой стороннего воздействия: вековых членов нет. В этом смысле жесткие крышки — исключительный случай.