§ 83. Сферически-симметричные волны

В этой главе мы будем изучать сферически-симметричные волны. Такие волны одномерные: все их характеристики (давление, скорость частиц и т. д.) зависят, помимо времени, только от одной координаты — расстояния от центра волны. Поэтому такие волны имеют ряд общих черт с плоскими волнами. Но поскольку, единственная координата принадлежит не декартовой, а сферической системе координат, имеются и существенные различия в поведении этих двух типов волн.

Волновое уравнение в сферических координатах для сферически-симметричной волны легко получить из общего вида волнового уравнения в векторной записи:

В сферически-симметричном движении

Возьмем малый элемент объема, вырезываемый сферами радиуса Поток градиента, втекающего через поверхность сферы радиуса равен Следовательно, поток, вытекающий из указанного элемента объема, равен Разделив на объем данного элемента найдем искомую дивергенцию:

Наконец, в силу тождества

можем записать волновое уравнение в окончательном виде:

Мы видим, что по отношению к величине уравнение является обычным одномерным волновым уравнением в переменных Значит, для величины имеют место решения в виде бегущих волн: (расходящаяся) и (сходящаяся), где произвольные функции. Сходящаяся и расходящаяся волны давления имеют, следовательно, в общем случае вид

Отличие от решений для плоских волн в том, что координата принципиально не может принимать отрицательные значения.

Профили давления сходящейся и расходящейся волн отличаются от профиля плоской волны как бы «перспективным сокращением» при удалении вдоль радиуса-вектора.

Подобно тому как любую одномерную плоскую волну можно представить в виде суперпозиции двух волн, бегущих друг другу навстречу, любую сферически-симметричную волну можно представить в виде суперпозиции одной расходящейся и одной сходящейся волны:

В бегущей сферической волне одна и та же временная зависимость давления повторяется во всех точках, но только в разном масштабе (по закону обратной пропорциональности расстоянию

от центра) и с запаздыванием, равным времени пробега волны до рассматриваемой точки. Изменение этого масштаба от точки к точке не зависит от скорости звука и, например, остается таким же и для несжимаемой жидкости, когда давление изменяется во всех точках среды синфазно, без запаздывания. Независимость изменения масштаба от скорости звука имеет место только для давления; для скорости частиц такой независимости нет.

Для бегущих сферически-симметричных волн давление принимает в центре волны бесконечное значение. Это значит, что такие волны не могут существовать во всем пространстве: центр волны должен быть исключен. Чтобы реально осуществить чисто сходящуюся или чисто расходящуюся волну в отдельности, в центре нужно расположить некоторое тело: «поглотитель» или «излучатель» (см. ниже, § 85).

Существуют, однако, и сферические волны, остающиеся конечными во всем пространстве, включая центр волны: такие волны — это определенная комбинация расходящейся и сходящейся волн. В самом деле, давление в точке конечно, если в любой момент времени выполняется соотношение

Искомая волна имеет, следовательно, вид

Раскрывая неопределенность, получающуюся при находим давление в центре волны, конечное всем пространстве, в виде