§ 134. Тензор деформации

Если каждая точка твердого тела получила одно и то же смещение, то это значит, что тело переместилось поступательно: деформация тела отсутствует, и следовательно, никаких упругих напряжений в теле не возникло. Деформаций может не быть и при различных смещениях разных точек, например при вращении тела как целого. Напряжения возникают только в тех случаях, когда расстояния между точками тела изменяются.

Изменение смещений от точки к точке можно характеризовать производными компонент смещений по координатам какой-либо прямоугольной декартовой системы координат т. е. величинами Однако такие производные еще не характеризуют деформацию, так как в них входят также смещения тела как целого. Поэтому удобно выделить такие величины, которые зависели бы только от изменений расстояний между точками тела. Это можно сделать следующим образом. Возьмем в теле две точки, координаты которых различаются на Квадрат расстояния между этими точками равен

После деформации расстояние между точками станет равно

где приращение вектора смещений при переходе от первой точки ко второй. Для близких точек, т. е. для малых значений можно положить

«Малость» вектора конечно, относительна и означает малость его модуля по сравнению с расстояниями, на которых величина производных изменяется заметным образом.

Подставляя (134.3) в (134.2), найдем

Таким образом, приращение квадрата расстояния между двумя близкими точками равно

Можно показать, что величина

есть тензор; ее называют тензором деформации. Очевидно, тензор деформации симметричен. Если все компоненты тензора деформации обращаются в нуль (инвариантное свойство тензора), и только в этом случае, расстояния между частицами тела не меняются и оно движется как абсолютно жесткое тело. Таким образом, действительно характеризует деформацию тела независимо от его движения как целого.

Если малы компоненты тензора деформации, то обычно малы и производные исключением являются случаи изгибания или кручения стержня или изгибание пластины, когда велик угол поворота средней линии или угол закручивания. Если не рассматривать эти особые случаи, то можно линеаризовать выражение для тензора деформации, пренебрегая квадратичными членами, и записать его в виде

Если линеаризация возможна, то линеаризованные тензоры можно складывать (принцип суперпозиции): две деформации

и совершенные одна за другой, эквивалентны одной деформации Погрешность при таком расчете — того же порядка, что и при переходе от (134.5) к (134.6).

Каждая из компонент линеаризованного тензора деформаций имеет простой физический смысл. Диагональная компонента (компонента с двумя совпадающими индексами), например равна относительному растяжению элемента среды в направлении соответственной оси (в данном случае оси Сумма диагональных компонент тензора деформации равна дивергенции смещений точек среды, т. е. акустическому сжатию среды, взятому с обратным знаком:

Недиагональная компонента (компонента с различными индексами), например равна изменению в результате деформации прямого угла между соответственными осями координат, проведенными в среде (деформация сдвига).

Компоненты тензора деформации изменяются при повороте осей. Формулы преобразования между компонентами в старой системе и компонентами в новой системе имеют вид

где направляющие косинусы осей одной системы относительно другой. Очевидно, Величина при повороте осей не меняется.

Как известно, симметричный тензор имеет систему главных осей. В этой системе координат от нуля отличны только диагональные компоненты тензора. Следовательно, любая деформация может быть представлена в виде суперпозиции трех растяжений в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Если деформация такова, что все три растяжения равны, так то тензор деформаций можно представить в виде то это свойство оказывается инвариантным. В этом случае каждая система координат оказывается главной и деформации сдвига отсутствуют. В самом деле, по закону преобразования компонент тензора имеем в этом случае

Если в каждой точке твердого тела компоненты тензора деформации одинаковы, то деформацию называют однородной. При этом и напряженное состояние среды оказывается одинаковым во всех точках, а следовательно, результирующая сил упругости, действующих на любой объем среды, равна нулю. Поэтому деформация в упругой волне не может быть однородной.