§ 152. Диполь в твердом теле

В жидкости дипольный излучатель — осциллирующая малая сфера. Назовем поле, создаваемое осциллирующей малой сферой в твердом теле, также дипольным излучением и найдем его характеристики.

Диполь в твердом теле может быть двух видов: это может быть сфера, вложенная в полость того же радиуса так, что среда может свободно скользить по поверхности сферы, и это может быть сфера, «вмороженная» в среду и увлекающая за собой среду. Хотя граничное условие в первом случае похоже на граничное условие для жидкой среды, поля в жидкости и в твердом теле будут совершенно различны: помимо потенциального поля смещений продольной волны (похожего по форме на поле в жидкости), в твердом теле в обоих случаях появится еще и вихревое поле сдвиговых волн, для которого никакой аналогии в жидкой среде нет.

Дело в том, что для диполя в жидкой среде на границе сферы имеется только одно граничное условие — совпадение нормальных смещений (или скоростей) сферы и среды: (угол отсчитывается от оси осцилляций). Это же требование остается и для осциллирующей сферы в твердом теле, но к нему добавляется еще условие обращения в нуль касательного напряжения на поверхности сферы (первый случай), либо условие равенства касательных смещений (второй случай). Поэтому, взяв скалярный потенциал в таком же виде, как и для жидкости,

мы получим желательное угловое распределение (по косинусу) нормальных скоростей частиц, но второе условие окажется неудовлетворенным. Поэтому в среде возникает еще и вихревое поле. Его можно описать векторным потенциалом, который давал бы такое же угловое распределение для нормальных скоростей. Это — вектор с единственной не равной нулю компонентой, направленной по параллели и равной

где — орт параллели.

Теперь можно распорядиться двумя остающимися пока неопределенными величинами так, чтобы удовлетворить обоим граничным условиям.

Начало расчета одинаково для обоих видов второго граничного условия. Смещения частиц будут происходить в меридиональных плоскостях с полярной осью, совпадающей с направлением осцилляций сферы. Компоненты смещений выражаются через скалярный потенциал и не равную нулю компоненту векторного потенциала следующим образом:

Нормальные и касательные напряжения в меридиональной плоскости равны в данном случае Компоненты тензора деформации равны

Подставляя сюда (152.3) и пользуясь уравнениями движения

приведем выражения для компонент тензора напряжений к виду

Подставляя значения и из (152.1) и (152.2), можно переписать, формулы (152.3), (152.4) в виде

где введены обозначения

Дифференцирование дает:

Соответственные выражения производных для получатся просто заменой на в этих формулах. Подставляя найденные выражения в (152.5), найдем:

Характеристики направленности для и — обычные дипольные характеристики. Направленность для и сгге дается такой же характеристикой, как и для крутоля. Обе характеристики в пространстве можно получить, вращая вокруг оси х систему четырех одинаковых окружностей, касающихся осей х и у в начале координат. При этом ось х соответствует направлению осцилляций.

Теперь найдем выражение для силы с которой сфера действует на среду. Эту силу можно выразить следующим интегралом по всей поверхности сферы:

Ввиду осевой симметрии всей картины можем принять за элемент поверхности идущую по параллели полоску ширины тогда и интеграл примет вид

Подставляя сюда значения для получим после простых преобразований

где введены обозначения:

Случаи скользящей и вмороженной сферы рассмотрим отдельно. Для скользящей сферы одним из граничных условий является равенство нулю касательного напряжения на ее поверхности. Полагая в последней формуле (152.6) найдем А:

Полученные выше формулы точные; они справедливы для любого размера сферы (или для любой частоты). Теперь дадим приближенные величины для сферы, малой по сравнению с длиной сдвиговой волны (и подавно по сравнению с длиной продольной волны в среде): будем считать малым (и подавно а) и будем пренебрегать величинами по сравнению с единицей. Подставляя (152.8) в (152.7), получим при этом условии

Далее, полагая в (152.6), выразим М через амплитуду колебаний сферы и (пренебрегая, как и в предыдущей формуле, малыми второго порядка по а и Для этого подставим в первое уравнение (152.6) величину (152.8); вначале придется сохранять все члены в числителе и в знаменателе, потому что старшие члены сокращаются. Произведя вычисления, найдем, пользуясь соотношением

Теперь и силу, действующую со стороны сферы на среду, сможем выразитьчерез смещение сферы:

Если плотность сферы равна плотности среды то к следует еще добавить инерциальную силу, соответствующую массе сферы,

равную однако этой величиной можно пренебречь по сравнению с упругой реакцией среды. Таким образом, F можно считать силой диполя в твердом теле. Очевидно,

Отсюда видно, что коэффициент упругости для реакции среды равен

Здесь учтена только реактивная часть силы упругости, соответствующая данному смещению сферы.

Полученных данных достаточно для того, чтобы найти энергию, излучаемую осциллирующей сферой в виде продольных и поперечных волн в окружающую среду. В самом деле, мощность излучения равна половине произведения амплитуды скорости колебания сферы на компоненту силы диполя, находящейся в фазе с этой скоростью. Скорость равна а активная компонента силы есть (с той же точностью, что и выше)

Излучаемую мощность найдем в виде

откуда после простых преобразований получим

Сравнивая с (104.2), найдем, что мощность излучения продольных волн в жидкость и в твердую среду (с той же скоростью продольных волн) одинакдва при равных силах диполя, приложенных к среде со стороны. Если же сравнивать мощность излучения в твердую среду и в жидкость при одинаковых смещениях сфер одинаковых (малых) радиусов, то результаты получатся разные: излучение продольной волны в твердой среде оказывается в раз больше, чем в жидкости: при данной скорости движения требуемая сила в твердой среде гораздо больше, чем в жидкости.

Аналогичный расчет можно произвести и для «вмороженной» сферы. При этом условия на поверхности сферы имеют вид , что дает, согласно первым двум формулам (152.6),

откуда точное значение величины А получается в виде

Переходя к приближенным формулам для , найдем для силы, действующей со стороны сферы на среду, снова ту же формулу (152.9). Подставляя во второе уравнение (152.6) величину (152.11), найдем и величину М:

Следовательно,

что дает коэффициент упругости, равный

Наконец, находя тем же способом, что и выше, излучаемую мощность, обнаружим, что она выразится той же формулой (152.10). Но смещения сферы оказываются теперь другими: отношение смещений для скользящей и «вмороженной» сфер больше единицы и равно

Первый и второй члены в скобках выражения для излучаемой мощности (152.10) соответствуют излученным сдвиговым и продольнымволнам соответственно. Распределение мощности между этими типами волн определяется отношением независимо от граничных условий на сфере. Большая часть энергии всегда идет в сдвиговые волны. В водоподобной среде отношение смещений для двух типов граничных условий равно приблизительно 3/2. Эффективные коэффициенты упругости для водоподобной среды оказываются для двух случаев равными