§ 44. Плавное изменение свойств среды. Лучевая картина

Мы рассмотрели отражение и прохождение звука при скачкообразном изменении свойств среды — при резкой границе между средами с различными акустическими свойствами. При нормальном падении коэффициенты отражения и прохождения определяются в этом случае только отношением волновых сопротивлений сред по обе стороны от границы. Даже если переход от одного волнового сопротивления к другому происходит не скачком, а непрерывно, но на расстоянии, малом по сравнению с длиной волны, коэффициенты отражения и прохождения остаются практически такими же, как и при скачке.

Но картина совершенно меняется, если переход происходит плавно, на расстоянии настолько большом, что относительное приращение волнового сопротивления на расстоянии одной длины волны очень мало по сравнению с единицей. Отражение от такой переходной области оказывается малым; оно тем меньше, чем меньше изменение волнового сопротивления на расстоянии одной длины волны, т. е. чем длиннее переходная область, и в пределе, при изменении волнового сопротивления на одной длине волны, стремящемся к нулю, отражение стремится к нулю, волна переходит от одного значения волнового сопротивления к другому без отражения, как при распространении в однородной среде. В этом случае обычно говорят не о двух средах с переходным слоем, а об одной неоднородной среде.

Такой плавный переход можно рассматривать при заданной частоте звука как предельный случай бесконечно плавного изменения свойств среды, а при заданной степени неоднородности

среды — как предельный случай звука бесконечно высокой частоты (бесконечно малой длины волны).

То обстоятельство, что результат изменения свойств среды зависит от плавности этого изменения и что при достаточно плавном изменении свойств волна «не замечает» этого изменения, отнюдь не тривиально. Противоположный пример — вкатывание шарика вверх по наклонной плоскости: какой бы пологой ни делать наклонную плоскость, шарик, начавший вкатываться с определенной скоростью достигнет всегда лишь некоторой определенной высоты. При любой плавности подъема шарик «запоминает» испытываемое им изменение высоты и оно сказывается на его скорости. Волна же, бегущая в плавно меняющейся среде, «забывает» встречаемое ею на пути распространения изменение волнового сопротивления среды.

Выясним механизм этого «забывания». Пусть гармоническая плоская волна бежит в среде, волновое сопротивление которой зависит от одной координаты — расстояния, отсчитываемого вдоль направления распространения волны. Среды, свойства которых зависят только от одной координаты, называют слоисто-неоднородными. Разобьем мысленно данную слоисто-неоднородную среду на множество тонких (по сравнению с длиной волны) плоскопараллельных слоев, перпендикулярных к направлению распространения; будем считать среду однородной в пределах каждого такого слоя и изменяющей свои свойства малым скачком при переходе от одного слоя к другому. При достаточной малости скачков поведение волны в такой среде будет таким же, как и в действительной среде.

Волна, бегущая в каком-либо слое, попадая на ближайшую границу, частично отразится и частично пройдет в следующий слой. Как мы видели в предыдущем параграфе, коэффициент отражения от границы, на которой происходит малое изменение относительного волнового сопротивления равен приближенно Значит поток мощности, уносимый отраженной волной от этой границы — малая величина второго порядка (она составляет долю в - от потока мощности в падающей волне) и прохождение через границу — почти полное. Точно так же и прохождение через вторую границу, — почти полное, и поток мощности в отраженной от нее волне — малая величина второго порядка; то же происходит и на третьей, четвертой и т. д. границах.

Но чтобы найти поток мощности в суммарной отраженной волне, недостаточно сложить потоки от отдельных отражений на последовательных границах: энергии волн одной и той же частоты, бегущих в одном и том же направлении, не аддитивны. Необходимо сначала сложить эти волны, а лишь затем вычислять поток мощности волны суммарной амплитуды. Выполним такое сложение. При этом будем пренебрегать последующими отражениями однократно отразившихся волн: их амплитуда будет иметь второй и более высокий порядки малости по малой величине

Такое пренебрежение окажется оправданным, если в результате расчета только с первыми отражениями мы увидим, что суммарная отраженная волна действительно мала по сравнению с падающей.

Схематическая картина нескольких первых отражений показана на рис. 44.1. При подсчете суммарной амплитуды отраженной волны следует сложить все отраженные волны с учетом их фаз. Эти фазы растут при переходе от слоя к слою соответственно увеличивающейся длине пробега волны: при увеличении пробега на половину длины волны (в данном месте среды) фаза отражения изменяется на (волна проходит дополнительно двойное — туда и обратно — расстояние в среде).

Поэтому фаза последовательных отражений будет многократно обходить полный круг, а так как свойства среды меняются медленно, то вклады отдельных границ, размещающихся на участке среды толщиной в одну половину длины волны, почти в точности уничтожат друг друга.

Рис. 44.1. Схема последовательных отражений проходящей волны от границ слоев, слабо отличающихся по своим волновым сопротивлениям.

Рис. 44.2. а) Вектор, замыкающий спираль, дает (комплексную) амплитуду коэффициента отражения; б) начало спирали в увеличенном масштабе: каждый отрезок — коэффициент отражения от соответственной границы слоев.

В этом взаимном уничтожении последовательных отражений вследствие их расфазировки и заключается механизм «забывания» волной изменения волнового сопротивления на пути ее распространения. В результате отражение останется близким к нулю, как бы сильно ни изменилось волновое сопротивление, если только это изменение было достаточно медленным.

Взаимное уничтожение вкладов в суммарное отражение последовательных границ слоев можно наглядно показать на векторной диаграмме результирующего колебания, представляемого в виде геометрической суммы колебаний, вносимых последовательными границами (рис. 44.2). Диаграмма образует ломаную спираль, описывающую один виток при каждом пробеге волной пути в половину длины волны. Амплитуда (комплексная) результирующего отражения от слоя данной толщины изображается вектором, соединяющим начало и конец спирали. Модуль коэффициента отражения очень мал по сравнению с амплитудой

отражения от резкого скачка волновых сопротивлений, равного полному изменению этой величины на всем переходном слое, когда эффекты всех малых скачков складываются в одной и той же фазе.

Пренебрегая малым остаточным отражением при достаточно медленном изменении свойств среды, можно считать, что волна распространяется в неоднородной среде без отражения. Амплитуды же давления и скорости частиц в проходящей волне могут при этом измениться очень сильно: амплитуда проходящей волны «запоминает» суммарное изменение волнового сопротивления на пути ее пробега. Плотность потока мощности волны сохраняется, несмотря на изменение волнового сопротивления, значит, согласно (39.6), давление в волне меняется пропорционально корню квадратному из волнового сопротивления, а скорость частиц — обратно пропорционально корню квадратному из волнового сопротивления.

Например, плотность воздуха на высоте 30—40 км в сто раз меньше, чем у земли, а скорость звука мало отличается от приземной. Следовательно, амплитуда давления звука, приходящего от источника, находящегося на этой высоте (например, звук от ракетного двигателя), увеличится, дойдя до земли, в 10 раз. Впрочем, такое увеличение имело бы место только для плоской волны, бегущей в вертикальном направлении. В действительности звуковая волна при распространении будет еще расходиться в стороны, так что наш расчет показывает только, что дает изменение волнового сопротивления при прочих равных условиях.

Разобьем мысленно слабо неоднородную среду на цилиндры с образующими, перпендикулярными к слоям. В каждой такой мысленно выделенной трубке волна бежит без отражений и не обмениваясь энергией с соседними трубками; стенки трубок можно считать абсолютно жесткими. Будем называть такие цилиндры лучевыми трубками, а их образующие — лучами. Распространение плоской волны перпендикулярно к слоям слоисто-неоднородной среды можно представить себе как бег звуковой энергии вдоль таких лучей, без отражений в обратном направлении. Эти лучи совпадают с линиями тока скоростей частиц. Волновые фронты в каждой точке перпендикулярны к лучу.

Подчеркнем еще раз, что для достаточно низких частот всякое изменение свойств среды будет резким и волна будет отражаться от сколь угодно плавного изменения волнового сопротивления; и только по мере повышения частоты отражение будет уменьшаться, стремясь к нулю при бесконечном повышении частоты. Поэтому можно считать лучевую картину асимптотикой волновой картины в неоднородной среде для бесконечно высоких частот. Понятие «слабо неоднородная среда» относительно и зависит от длины волны.

Если при распространении луч встретит границу, которая явится резкой и для той высокой частоты, для которой среду в целом можно считать слабо неоднородной, то он разделится на

два: отраженный и прошедший, и амплитуды полей, соответствующих лучам, можно найти по формулам Френеля. Лучи, соответствующие отраженной вполне, геометрически совпадут с падающими лучами, но акустически это разные лучи: звук бежит в лучевых трубках падающей и отраженной волн в противоположных направлениях. Для лучей имеет место принцип суперпозиции: полное поле в данной точке равно сумме полей, приносимых в данную точку всеми лучами, проходящими через эту точку.

Из построения лучей ясно, что лучевая картина не зависит от длины волны (при условии, что длина волны уже настолько мала, что лучевая картина вообще применима). Однако при суперпозиции лучей, например в случае суперпозиции падающих и отраженных лучей, поле в каждой определенной точке зависит от длины волны, так как ею определяется соотношение фаз волн, распространявшихся по составляющим лучам и пришедшим в данную точку. Таким образом, для монохроматической волны в нашем случае лучевая картина еще не исчерпывает характеристик поля: поле разбивается на лучи, но в каждой лучевой трубке будет волновая картина интерференции.