§ 89. Колебания упругой сферы в среде. Колебания газового пузырька в воде

Возьмем в качестве монополя упругую безмассовую сферу радиуса а с удельным коэффициентом упругости х. Это значит, что в поле давления приращение А а радиуса сферы равно Такая сфера, помещенная в несжимаемую среду, явится для сферически-симметричных колебаний осциллятором с одной степенью свободы. Обобщенная масса такого осциллятора — это присоединенная масса среды, равная обобщенный коэффициент упругости равен Следовательно, собственная частота осциллятора равна

Такой же расчет можно выполнить и для сферы, помещенной в сжимаемую среду, если длина волны собственной частоты в среде велика по сравнению с размерами сферы, т. е. выполнено условие , где Для этого должно выполняться неравенство Если сфера — сплошное тело, это значит, что сжимаемость тела должна быть много больше сжимаемости среды (такому условию всегда удовлетворяет, например, газовый пузырек в воде). Колебания упругой сферы в сжимаемой среде можно по-прежнему рассматривать как колебания осциллятора с одной степенью свободы, но его колебания будут теперь затухающими: энергия колебаний будет «высвечиваться» — затрачиваться на излучение звука колеблющейся сферой.

Расчет осциллятора в этом случае проще всего выполнить следующим образом. Если сфера мала по сравнению с длиной волны,

то можно пользоваться формулой (88.2), отличающейся от формулы для несжимаемой среды только множителем учитывающим активную часть реакции среды. Полную реакцию сжимаемой среды на сферу можно, следовательно, имитировать в формуле для сопротивления, распределяя по поверхности сферы «комплексную поверхностную плотность» Тогда стоту колебаний — теперь она также комплексна — найдем по той же формуле (89.1):

Таким образом, амплитуда колебаний будет затухать по закону

а энергия осциллятора — по закону

Добротность осциллятора равна

Ширина резонансной кривой равна

В этом расчете принято, что . Поэтому при подсчете затухания волновое число можно было рассчитывать, исходя из вещественной частоты, полученной при пренебрежении сжимаемостью, а частоту колебаний считать той же, что и в отсутствие сжимаемости. При комплексной частоте получим и комплексное волновое число:

Таким образом, излучаемая волна имеет вид

Обратим внимание на то, что в каждый момент времени при удалении от центра волны амплитуда колебаний вначале падает, вследствие сферического расхождения, а затем растет вследствие перевешивания экспоненциального множителя. (Минимум амплитуды соответствует Физический смысл этой зависимости от расстояния был пояснен в § 36.

Для всякого осциллятора, помещенного в среду, излучение эквивалентно некоторому затуханию. В нашем расчете мы учитывали только это «радиационное» затухание. Если в осцилляторе имеются и собственные потери, то их следует добавить к радиационным потерям.

В качестве примера рассмотрим колебания газового пузырька в жидкости. Газовый пузырек можно считать практически безмассовой упругой сферой. Найдем коэффициент упругости пузырька. Пусть радиус пузырька а получил малое приращение

. Тогда его объем получит приращение , а значит, сжатие газа, в пузырьке будет равно

В результате давление внутри пузырька получит приращение где сжимаемость газа. Отсюда следует, что коэффициент упругости равен Подставляя в (89.1), найдем частоту радиально-симметричных колебаний:

Остается только вопрос, соответствует ли сжимаемость газа в пузырьке адиабатическому или изотермическому процессу? Дело в том, что при малом радиусе пузырька весь газ в нем находится практически в статическом режиме и целиком испытывает адиабатические нагревания и охлаждения при изменениях объема. Выравнивается же не плавное изменение температуры на расстояниях в четверть длины волны, как в волне в неограниченной среде, а резкий скачок на границе окружающей жидкости, температура которой в волне почти не меняется (вода при вообще не меняет температуру при сжатиях и разрежениях), с малым объемом газа в пузырьке. Поэтому в данном случае теплообмен гораздо больше, чем в волне, бегущей в неограниченном газе, и можно ожидать, что при некоторых условиях газ в пузырьке окажется в режиме, близком к изотермическому. Очевидно, все будет зависеть от соотношения между длиной температурной волны в газе и радиусом пузырька. Если длйна температурной волны мала, по сравнению с радиусом, то процесс приблизительно адиабатический; если длина волны порядка радиуса или больше его, то процесс близок к изотермическому. Соответственно в первом случае в формуле (89.3) следует брать адиабатическую, а во втором случае — изотермическую сжимаемость.

Условие адиабатичности имеет вид глубина прогревания (см. § 19). При выполнении этого условия можно считать , где Р — давление газа в пузырьке (гидростатическое давление, сложенное с капиллярным давлением где Т — капиллярная постоянная; второе слагаемое играет роль только для очень малых пузырьков). Теперь (89.3) примет вид

Для пузырька воздуха вблизи свободной поверхности воды это даст или . Критерий адиабатичности примет вид см: радиус пузырька должен быть много больше двух микрон. Это соответствует частотам много

(йеньшим мегагерца. Так как наиболее важны на практике частоты порядка нескольких килогерц, то газ в пузырьках с соответственными резонансными частотами всегда находится в квазиадиабатическом режиме.

Отметим еще простую формулу:

Для воздушного пузырька вблизи свободной поверхности воды это дает примерно . Отсюда видно, что исходное предположение о малости размеров шарика по сравнению с длиной волны не только в воде, но и в газе выполняется, так что предположение о квазистатическом характере сжатий и разрежений газа в пузырьке при собственных колебаниях было обоснованным, а при расчете собственной частоты колебаний можно было пренебрегать сжимаемостью воды (относительное изменение частоты вследствие сжимаемости воды равно по порядку .

На глубине под поверхностью воды гидростатическое давление превышает атмосферное в раз. Поэтому собственная частота пузырька данного радиуса на глубине раз больше, чем собственная частота у поверхности. Например, на глубине собственная частота пузырька данного радиуса вдвое больше, чем у поверхности.

Сжимаемость среды вносит затухание в колебания пузырька в результате «высвечивания» пузырьком акустических волн. Если бы других потерь энергии колебаний не было, то добротность Пузырька в воде у поверхности была бы равна свободные колебания пузырька затухали бы в раз после колебаний. При увеличении глубины добротность пузырька данного радиуса уменьшается в отношении например, при одном и том же радиусе добротность пузырька на глубине вдвое меньше, чем у поверхности. У всплывающего пузырька, содержащего неизменное количество газа, при изменении глубины изменяется и радиус, и давление. В результате собственная частота пузырька при всплытии с глубины до верхности уменьшается в отношении а добротность растет в отношении .

Приведенный расчет затухания колебаний пузырька учитывает только «высвечивание» колебательной энергии пузырька, превращающейся в звуковую энергию в воде. В действительности имеет место и переход механической энергии в тепло: хотя колебания газа происходят квазиадиабатически, сглаживание температурных скачков у границы газ — вода приводит к потерям энергии. Вязкость жидкости и влияние поверхностно-активных веществ на поверхности пузырька также вносят свой вклад в потери механической энергии. В результате добротность пузырька оказывается меньше величины достигаемой при отсутствии перехода механической энергии в тепло. При наличии потерь добротность

зависит от размеров пузырька (и соответственно от резонансной частоты), так как сами механизмы потерь связаны с размерами пузырька. Существенно сказывается и состав газа в пузырьке (вследствие различной теплопроводности разных газов).

Пульсации пузырька — не единственные возможные сферически-симметричные колебания газа в пузырьке: в нем возможны также колебания типа рассмотренных в § 86 для абсолютно жесткой стенки, для которых Это — колебания высокой частоты (первое же колебание в 200 раз выше по частоте пульсационного колебания), для которых граница с жидкостью является приближенно жесткой. Набор таких колебаний аналогичен набору гармонических колебаний в трубе с жесткими стенками. Низкочастотная же пульсация аналогична добавочному колебанию, появляющемуся в трубе при замене абсолютной жесткой стенки массивным поршнем. Для пузырька роль такого массивного поршня играет присоединенная масса жидкости.