§ 66. Свободные колебания в трубах. Задачи с начальными условиями

В ряде случаев представляют интерес колебания, возникающие в трубах в результате того, что среда в трубе была выведена из равновесия, а затем предоставлена самой себе. Если в какой-либо момент времени (будем считать его начальным) заданы распределения давления и скоростей частиц вдоль трубы, то, в отсутствие сторонних воздействий, можно найти колебания в трубе во все последующие моменты времени. В этой задаче принимаем, что скорости частиц и давления одинаковы по каждому сечению трубы и меняются только от сечения к сечению.

В качестве примера можно представить себе трубу с жесткими крышками, разделенную на два отрезка тонкой диафрагмой, расположенной в каком-либо сечении трубы. Если давление в одной части трубы повышают и в какой-то момент диафрагма лопается, то процесс после разрыва диафрагмы соответствует таким начальным условиям: скорость частиц равна нулю, а давление распределено ступенькой вдоль трубы. Другой пример: труба движется вдоль своей оси и внезапно останавливается при соударении с препятствием. Начальные условия в этом случае: равенство нулю начальных давлений и постоянная начальная скорость частиц по всей длине трубы.

Можно доказать, что для любых начальных условий и при любых непроницаемых для звука крышках колебание в трубе можно представить в виде суперпозиции собственных колебаний данной трубы. Это легко показать для идеальных крышек на основе теории рядов Фурье. Пусть, например, крышки абсолютно жесткие. Набор собственных частот и волновых чисел обертонов данной

трубы, т. е. всех возможных в ней гармонических волн, имеет вид

Распределение давлений и скоростей в обертоне номера можно записать в виде

где произвольные числа.

Пусть в начальный момент времени заданы распределения вдоль трубы давления

и скоростей частиц

Подберем числа так, чтобы суперпозиция собственных колебаний удовлетворяла заданным начальным условиям. Для этого должны иметь место равенства

т. e. A и B должны равняться компонентам Фурье разложения в ряд начальных распределений давления и скорости, причем давление считается продолженным симметрично, а скорость частиц — антисимметрично; при этом разложение для давления содержит только косинусы, а разложение для скорости — только синусы.

Искомое поле можно представить в виде суперпозиции двух полей: одного с начальными условиями

и другого с начальными условиями

Для первого поля решение есть

где

Для второго поля решение для скорости частиц есть

где

Величина найдется из уравнения

т. е.

так что окончательно искомое решение можно записать в виде

или

Аналогично получим для мягких крышек формулу

и для одной жесткой и одной мягкой крышки — формулу