§ 17. Одномерная задача. Плоская волна

Изучение волн начнем с простейшего случая одномерного движения среды, когда все характеристики волны зависят только от одной декартовой координаты, напрймер координаты х. Поверхности, на которых фаза данной волны имеет одно и то же значение, называют фронтами волны. В этом случае фронты — плоскости

Поскольку давление меняется только в направлении, перпендикулярном к фронтам, скорость частиц в одномерном движении также направлена перпендикулярно к фронтам.

Для одномерного звукового поля можно найти общее решение волнового уравнения, принимающего в этом случае вид

Сделаем в этом уравнении замену переменных

Частные производные давления по и по х выразятся через производные по новым переменным следующим образом:

Повторяя дифференцирование, найдем

Подставляя полученные выражения в волновое уравнение, получим

Отсюда следует, что частная производная др/да должна быть независимой от переменной ее можно считать произвольной

функцией от а:

Интегрируя по а, найдем

где также произвольные функции своих аргументов. Возвращаясь к исходным переменным, найдем, что общее решение одномерного волнового уравнения — так называемое «даламберово решение» — имеет вид

Любая функция от или от представит собой бегущую плоскую волну: первая — волну, бегущую направо, вторая — волну, бегущую налево. Общее решение одномерной задачи сводится к сумме двух плоских волн произвольной формы, бегущих навстречу друг другу. Каждая из этих волн в отдельности перемещается в направлении положительной (или отрицательной) оси х как твердое тело со скоростью с.

Таким образом, введение понятия скорости для плоской бегущей волны в среде делается оправданным. Однако оно неоднозначно. Вводя это понятие, мы неявно предполагаем, что волна движется как твердое тело в направлении оси х. Но картина нисколько не изменится, если считать, что возмущение движется как твердое тело в направлении, составляющем с осью х угол со скоростью , как это доказано на рис. 17.1 для синусоидальной волны. Оба случая принципиально неразличимы, так как неразличимы состояния возмущения среды в любых точках одного и того же фронта волны. Поэтому пока мы будем считать данное определение направления и величины скорости волны условным. Ниже, в гл. III, мы увидим, что есть и принудительные основания принимать именно такое определение, помимо очевидного удобства.

Приведем сводку важнейших соотношений между характеристиками бегущей плоской волны. Пусть давление в волне задано в виде

где верхний знак соответствует волне, бегущей в положительном, а нижний — в отрицательном направлении оси х. Связь между давлением, скоростью и сжатием в бегущей волне имеет вид

Отсюда, пользуясь (14.2), найдем еще соотношения

Участки среды, в которых сжатие (а значит, и давление) положительны, движутся в сторону бега волны, а участки отрицательных давлений движутся навстречу бегу волны. Частицы, в которых звуковое давление равно нулю, имеют и скорость, равную нулю.

Рис. 17.1. Двухмерный профиль давлений в плоской синусоидальной волне в плоскости, проходящей через направление распространения волны. Перемещение волны в направлении а со скоростью с неотличимо от перемещения в направлении со скоростью .

Если всегда считать направление бега волны положительным, то в положительном направлении будут двигаться сжатые участки, а в отрицательном — разреженные участки среды, и в формулах (17.2) и (17.3) всегда можно брать знак плюс. Отношение скорости частиц к давлению в бегущей волне при таком выборе положительного направления в любой момент времени равно величине

Это отношение называют волновой проводимостью среды. Она не зависит от формы волны, а только от свойств среды.

Величину обратную волновой проводимости, называют волновым сопротивлением среды.

Все приведенные здесь формулы справедливы только в отсутствие дисперсии.

Полученная нами запись плоской бегущей волны связана с выбором оси х в направлении распространения волны. Напишем

уравнение плоской волны в векторной форме. Это позволит в дальнейшем получить выражение для плоской волны и в любой системе координат.

Для этого введем вектор перпендикулярный к фронтам волны и равный по модулю обратному значению скорости: Вектор будем называть вектором медленности волны. Обозначим радиус-вектор произвольной точки среды, проведенный из начала координат, через Очевидно, Следовательно, уравнение бегущей плоской волны можно записать в виде

Рис. 17.2. Вектор медленности плоской волны и его проекции на координатные оси и координатные плоскости. Жирные стрелки — вектор медленности исходной волны и векторы медленности следов волны на оси х и на плоскости

Последняя запись не связана с выбором системы координат. Если для плоской бегущей волны известна зависимость давления от времени в какой-либо точке и вектор медленности 5 известен, то уравнение волны получится путем замены в этой зависимости времени на бином (где радиус-вектор проведен из данной точки). Соотношение (17.2) между скоростью частиц и давлением в плоской волне можно записать, пользуясь вектором медленности, в векторной форме:

- Пользуясь (17.5), можно записать выражение для волны в координатной форме при любом расположении координатных осей относительно направления распространения волны:

Здесь проекции вектора медленности на координатные оси; углы вектора медленности с координатными осями (рис. 17.2).

«След» плоской волны на какой-либо оси, например на оси можно рассматривать как одномерную волну, бегущую вдоль оси х. Аналогично «след» волны на какой-нибудь плоскости, например плоскости можно рассматривать как двухмерную волну, бегущую на плоскости Временная зависимость всех величин, характеризующих волну, во всех следах та же, что и в исходной

волне, но медленности следов другие: они равны проекциям вектора медленности исходной волны на соответственные оси или плоскости. Так, медленность следа на оси х есть , а медленность следа на плоскости есть .

Вектор медленности исходной плоской волны и медленности ее следов на осях и плоскостях координат находятся в тех же соотношениях друг с другом, как вектор скорости движущейся материальной точки и скорости ее проекций на оси и на плоскости. При волновом подходе к акустическим процессам вектор медленности — понятие, имеющее непосредственный физический смысл, точно так же, как в механике материальных точек имеет смысл вектор скорости. Понятие же вектора скорости для волн имеет не больший смысл, чем понятие вектора медленности для движущейся точки. Лишь для одномерных движений, когда скорость или медленность можно считать скалярами и принципиально нет вопроса о проекциях или следах рассматриваемого объекта, можно было бы на равных правах применять понятие скорости и медленности как для волн, так и для материальных точек. Применимо всегда для тех и для других объектов и понятие медленности или скорости по модулю. В этом смысле обычно и говорят о скорости волн, а не о медленности; но так говорят только в силу привычки: мы чаще обсуждаем движение тел, чем волн.

То обстоятельство, что для волн понятие вектора скорости не имеет смысла и на его место становится понятие вектора медленности волны, связано с принципиальным различием между механикой волн и механикой материальных точек, о котором мы уже говорили в § 1.