§ 20. Поршневое излучение плоской волны. Импульс бегущей плоской волны

До сих пор мы еще не задавались вопросом об излучении волн и только выясняли, каково их поведение, если они уже созданы. Теперь покажем, как излучить в покоившуюся первоначально среду бегущую плоскую волну.

Пусть требуется создать плоскую волну, бегущую в положительном направлении, профиль давлений в которой был бы задан формулой

Проведем мысленно плоскость перпендикулярно к направлению распространения этой волны, например плоскость Среда слева от этой плоскости действует на среду справа с силами давления, отвечающими равномерно распределенному давлению: Если устранить среду слева от плоскости но продолжать действовать на границу среды, оставшейся справа, с теми же силами давления то движение среды справа не изменится. Но, согласно (17.2), частицы в бегущей волне должны двигаться со скоростями, равными Значит, установив в плоскости бесконечный поршень и сообщив ему скорость в направлении оси х, получим в среде справа от поршня требуемую бегущую волну При этом между давлением на поршне и скоростью поршня все время будет сохраняться соотношение

Эта картина создания плоской волны с заданным профилем, так называемое поршневое излучение, — не более как мысленный эксперимент, принципиально неосуществимый в действительности, так как для этого потребовался бы поршень бесконечных размеров. Если же взять поршень конечных размеров, то плоская волна не сможет быть создана, хотя бы потому, что точки в середине поршня и точки у краев поршня будут находиться в различных условиях. Если, однако, размеры поршня очень велики по сравнению с расстоянием, пробегаемым звуком за время Т, характерное для рассматриваемого звукового процесса (например, период для гармонического движения), то для большей части поверхности поршня отношение будет мало отличаться от Поэтому для достаточно большого поршня результирующая сила необходимая для придания жидкости, прилегающей к поршню, скорости будет мало отличаться от величины где площадь поршня. Соответственно этому волна вблизи поршня будет похожа на плоскую волну.

Можно, однако, получить и точную картину плоской волны, если поршень конечной площади вставить в цилиндрическую трубу с абсолютно жесткими стенками. В этом случае внутри трубы движение частиц и возникающие давления в точности соответствуют картине плоской волны в безграничном пространстве, и все соотношения, выведенные нами для плоских волн, выполняются для такой волны полностью.

Допустим, что создание волны длилось конечное время, так что, например, за пределами интервала времени поршень неподвижен. Найдем полный импульс звукового давления в любой точке среды. Поскольку одни и те же значения давления повторяются во всех точках с соответственным запаздыванием, достаточно проинтегрировать по времени давление на поршне:

Но Значит,

где — суммарное смещение поршня за все время движения. Ясно, что если в конце процесса поршень вернулся в исходное положение, то суммарный импульс равен нулю. Далее, если давление в волне было все время одного знака, то поршень должен был все время двигаться в одном направлении (вправо при положительном давлении и влево при отрицательном), и, следовательно, после того как волна будет излучена, поршень окажется в смещенном положении.