§ 57. Рефракция лучей в неоднородной среде

В § 44 мы видели, что при достаточно высокой частоте волны (или достаточно медленном изменении свойств среды) бегущая плоская волна может распространяться в слоисто-неоднородной среде в направлении, перпендикулярном к слоям, без отражений.

Это обстоятельство позволило нам в этом случае представить волновое поле в виде системы лучей. Можно ли ввести лучевую картину и для наклонного падения волны на слои, т. е. будет ли отсутствовать отражение и в этом случае? Естественно предположить, что отражение будет отсутствовать только тогда, когда свойства среды меняются достаточно медленно. Это предположение оказывается справедливым, но мы увидим, что требования медленности изменения свойств среды в этом случае более жесткие, чем для нормального падения. Кроме того, медленность изменения волнового сопротивления не является вообще ни необходимым, ни достаточным условием: требуется медленность изменения как плотности среды, так и локальной скорости звука в ней в отдельности.

Рис. 57.1. Определение разности фаз отражений плоской волны от плоских границ 1 и 2.

Разобьем, как и для случая нормального падения, среду на тонкие по сравнению с длиной волны слои и примем, что суммарное отражение образовано суммой отражений От границ слоев с учетом фаз отражений. Различие со случаем нормального падения будет двояким: коэффициенты отражения будут больше, а набег фазы последовательных отражений меньше, чем при нормальном падении. В самом деле, согласно (55.3) коэффициент отражения от границы может оказаться при малых углах скольжения 0 много большим, чем коэффициент отражения для отражения от той же границы при нормальном падении. Разность же фаз волн, отраженных от границ, отстоящих друг от друга на равна, как видно из рис. 57.1,

вместо при нормальном падении. Таким образом, требование малости суммарного отражения сводится к требовании: малости величины для скачка свойств среды, соответствующего смещению перпендикулярно к слоям на расстояние порядка . Если плотность среды не меняется от точки к точке или играет малую роль в суммарном отражении, то требование плавности изменений скорости звука при наклонном падении оказывается в раз более жестким, чем для нормального падения.

В дальнейшем будем считать, что условия отсутствия отражения выполнены и можно применять лучевую картину и на случай наклонного падения. Заметим, что при не очень значительных изменениях скорости звука (например, в пределах 10%)

достаточно переходного слоя толщиной порядка одной длины волны, чтобы отражение не превышало по амплитуде 10% от падающей волны вплоть до угла скольжения 12°, а при толщине слоя в 5 длин волн отражение не превышает вплоть до угла скольжения 5°. Изменение плотности влияет на отражение в меньшей степени, чем изменение скорости: требование к медленности изменения плотности растет с уменьшением угла скольжения только как

Рис. 57.2. Форма лучей (сплошные кривые) и фронтов волны (пунктир) в неоднородной среде. Стрелкой показано направление, в котором скорость звука увеличивается.

Итак, пусть задан некоторый плоский фронт волны в слоистонеоднородной среде. Начнем строить лучевую картину, считая, что все лучи выходят из этого фронта перпендикулярно к фронту. Если скорость звука в среде постоянна (меняется только плотность), то лучевая картина будет такой же, как и при нормальном падении: система параллельных прямых; различие будет только в том, что лучи будут пересекать слои под углом скольжения, не равным Но если — что наиболее интересно — скорость звука меняется от слоя к слою, то, поскольку вектор медленности направлен вдоль луча и при переходе от слоя к слою должен выполняться закон Снеллиуса, луч будет искривляться (рис. 57.2); вдоль луча будет выполняться равенство

где угол скольжения луча по отношению к слоям. Искривление луча называют рефракцией.

Очевидно, кривизна луча, выходящего из данной точки фронта определится законом изменения медленности вблизи данной точки. Поэтому вообще кривизны лучей будут различны, а новые фронты волны, как правило, уже не будут плоскими. Возникает вопрос: в какой степени можно продолжать пользоваться лучевой картиной, если волна плоская только на одном каком-то фронте? Очевидно, точное изображение поля при помощи лучевой картины уже невозможно: соседние лучевые трубки уже не тождественны, симметрия нарушена и между ними может происходить акустическое взаимодействие через стенки. Но при очень высоких частотах; искривление фронта окажется еще очень малым для участков, очень больших по сравнению с длиной волны. Волну можно тогда считать локально плоской, и тонкие лучевые трубки будут долго идти почти параллельно. Если нас интересуют локальные свойства звукового поля, а не вся картина поля в целом во всей среде, то волну можно считать всюду локально плоской с медленно меняющимся направлением распространения. Пока взаимодействие между лучевыми трубками мало, им можно пренебрегать, что

и позволяет сохранить лучевую картину и в этом случае. Очевидно, фронты волны будут поворачиваться вместе с лучами, оставаясь перпендикулярными к лучам. Если задать во всей среде зависимость от координаты то формулу (57.1) можно считать уравнением лучей в данной слоисто-неоднородной среде.

Из сказанного следует, что лучевую картину можно построить и для того случая, когда в среде задан и неплоский фронт волны, если только радиусы кривизны фронта велики по сравнению с длиной волны. При этом не требуется постоянство амплитуды колебаний вдоль фронта, лишь бы ее относительное изменение было мало на расстоянии, большом по сравнению с длиной волны. Лучи выходят из такого фронта по нормалям и подчиняются уравнению (57.1). Лучевая картина по-прежнему будет давать распределение звукового поля в среде асимптотически, при стремлении частоты к бесконечности. Если нарисовать лучи достаточно часто, так, чтобы направления смежных лучей мало различались на всем их протяжении, то можно получить представление и об изменении амплитуды волны, поскольку, в силу сохранения потока мощности вдоль каждой трубки, места расширения трубок соответствуют уменьшению плотности потока мощности и обратно.

Рис. 57.3. К нахождению кривизны луча.

Уравнение лучей удобно написать в виде зависимости кривизны луча от закона изменения медленности звука в среде и угла скольжения луча относительно границ слоев Дифференцируя (57.1), получим (рис. 57.3)

Но

где через обозначена длина элемента дуги луча. Подставляя в предыдущее уравнение, найдем кривизну луча в виде

Заменяя дифференцирование по направлению оси т. е. по нормали к слоям дифференцированием по нормали к лучу, лайдем

Таким образом, кривизна луча, проходящего через данную точку, тем больше, чем меньше его угол скольжения. Наибольшую

кривизну имеет луч, выходящий из данной точки параллельно слоям. Луч всюду обращен вогнутостью в сторону уменьшения скорости звука: он как бы стремится уйти от мест с большой скоростью звука в место с малой скоростью.

Имея в виду асимптотический характер лучевой картины, можно обобщить ее и на случай произвольной, а не только слоистой неоднородности среды, если только сохранить требование медленности изменения свойств среды по всем направлениям.

В самом деле, в этом случае любую среду можно считать локально-слоистой со слоями, перпендикулярными к вектору который по условию, накладываемому на неоднородность среды, медленно меняет свое направление от точки к точке. Уравнение луча имеет тот же вид (57.2) и в этом случае, с той разницей, что углом скольжения луча в данной точке следует считать угол между лучом и плоскостью, перпендикулярной к направлению в этой точке.