§ 5. Одномерная волна. Способ «остановки движения»

Скорость одномерных волн можно найти, не обращаясь к механике волн как таковой, прямо на основе динамики материальных тел. Мы рассмотрим вкратце в этом и в ближайших параграфах одномерные волны и некоторые конкретные примеры таких волн.

Одномерные волны — это волны, в которых все характеристики зависят, помимо времени, только от одной координаты. Одномерными могут быть как волны, бегущие в одномерной среде (волны на струне, в стержне, в жидкости, заполняющей узкую трубу, и т. п.), так и волны в двухмерных (плоская волна на пластинке) и трехмерных средах (плоская волна в неограниченной среде). Если эту единственную координату обозначить через х, то каждая величина, характеризующая волну (давление, скорость частиц и т. д.), будет некоторой функцией времени и этой координаты (для определенности рассматриваем давление

График зависимости от координат или от времени какой-либо величины, характеризующей волну, называют пространственным или временным профилем волны для этой величины. Профили разных величин в одной и той же волне вообще различны. Например, профиль скоростей частиц для волны на струне, показанный на рис. 4.1 для момента пунктиром, имеет совершенно другую форму,

чем профиль смещений, изображенный сплошной линией. Особенно интересны волны, не меняющие своего профиля при распространении. Такие волны можно использовать для передачи информации: информация, заключенная в форме волны, передается в этом случае без потерь. Для таких волн понятие скорости применимо, а зависимость любой величины, характеризующей волну, от координаты х и времени можно записать в виде

где с — скорость волны, а верхний и нижний знаки соответствуют бегу волны в положительном и отрицательном направлении оси х (мы условно будем называть эти направления «вправо» и «влево»).

В самом деле, давая времени произвольное приращение Т, а координате соответственное приращение получим то же самое значение Часто более удобна другая запись:

Для таких волн «моментальная фотография» пространственного профиля в какой-либо момент

совпадает с точностью до масштаба и начала отсчета с временным профилем той же величины в любой фиксированной точке

Для волн, бегущих вправо, пространственный и временной профили «перевернуты» друг относительно друга. Для волн, бегущих влево, такого переворачивания нет.

Очень важны гармонические бегущие волны вида

Здесь амплитуда гармонической волны, ее начальная фаза; период Т волны связан с циклической частотой и «обычной» частотой в герцах (число колебаний в секунду) соотношением

Длина волны Я связана с волновым числом соотношением

Пространственный и временной профили гармонической одномерной бегущей волны — синусоиды. Скорость гармонической волны называют фазовой скоростью; она выражается через циклическую частоту и волновое число формулой

Для всякой волны, бегущей без изменения формы, временная и пространственная производные величин, характеризующих волну,

связаны простым соотношением

Вторые производные по времени и по координате в такой волне оказываются связанными уравнением

Это — волновое уравнение (в одном измерении). Оно вообще удовлетворяется только данной волной. Но если в данной среде волна любой формы бежит без изменения профиля с той же скоростью с, то (5.3) — общее уравнение бегущих одномерных волн для данной среды. Если разные волны, сохраняющие свою форму, бегут с раз-

- ными скоростями, то говорят, что имеет место дисперсия скорости волн. В этом случае не все волны могут сохранять свою форму при распространении, а (5.3) не удовлетворяется любой волной.

Как мы увидим, синусоидальные волны сохраняют свою форму при распространении. При наличии дисперсии фазовые скорости различны для гармонических волн разной длины или разной частоты. Если фазовая скорость одинакова для всех синусоидальных волн, то дисперсии нет.

В реальных средах встречаются все варианты: в некоторых средах дисперсия отсутствует к без изменения формы распространяются любые волны, в других форму сохраняют только некоторые виды волн и имеется дисперсия скорости, в третьих вообще нет волн, распространяющихся без изменения формы.

В следующих параграфах дадим примеры всех этих вариантов, причем будем применять наглядный метод остановки движения: будем искать такую движущуюся относительно среды систему координат относительно которой профиль волны был бы неподвижен. Если это удастся, — значит, волна бежит без изменения формы и ее скорость с равна скорости системы относительно «абсолютной» системы координат в которой среда покоится. Относительно такой системы движение частиц в волне будет установившимся: среда будет «протекать» с постоянной скоростью вдоль профиля волны.

Ввиду простоты установившихся движений этот метод позволит легко найти скорость бегущей волны.

В качестве примеров рассмотрим поперечные волны на струне и на стержне и продольные еолны в неограниченной среде. Эти случаи хорошо известны из общего курса физики; здесь мы рассматриваем их другим способом, чтобы показать, как можно найти скорость бегущей волны, не прибегая к общим уравнениям для этих волн. Кроме того, последний пример позволит нам пояснить требование малости колебаний, о котором упоминалось в конце § 1.

Заметим, что упругие волны — не единственно возможные механические волны. Например, в волнах на поверхности воды

(мореное волнение) передача возмущения водной поверхности осуществляется силой тяжести, в магнитоакустических волнах — лоренцевыми силами. Законы распространения всех механических волн сходны между собой. В этой книге мы рассмотрим только упругие волны.