§ 98. Монополь в волноводе

Найдем теперь, как работает монополь, помещенный в волновод. Ограничимся случаем абсолютно жестких стенок и примем, что сечение волновода прямоугольное, со сторонами

В предыдущем параграфе мы видели, что излучаемая мощность монополя сильно меняется, даже если вблизи него расположена только одна стенка, так как тогда монополь работает дополнительно «против» давления, создаваемого звуком, отраженным от стенки. На большом расстоянии стенка практически не меняет работы монополя. В волноводе с прямоугольным сечением монополю приходится работать против давления, создаваемого бесчисленными отражениями прямого звука от всех четырех стенок волновода. Поэтому влияние волновода на работу монополя оказывается более сильным, чем влияние одной стенки, и, главное, это влияние сохранится и для широких волноводов при большом расстоянии излучателя от стенок.

Примем плоскость поперечного сечения, в котором расположен монополь, за плоскость и обозначим координаты монополя в плоскости через Плоскость есть плоскость симметрии создаваемого звукового поля. Поэтому в каждом полуволноводе поле можно представить в виде одинаковой

системы нормальных волн, убегающих от сечения вправо и влево, а монополь можно заменить жестким экраном, перегораживающим волновод по плоскости на котором задано распределение х-компоненты скоростей в виде -функции

со стороны, обращенной вправо, и

со стороны, обращенной влево. Следуя § 76, разложим эти распределения х-компоненты скоростей частиц по плоскости в двойные ряды Фурье справа и слева:

Верхний знак соответствует правому полуволноводу. «Пристраивая» к каждому слагаемому соответственную нормальную волну, убегающую от монополя (однородные волны) или убывающую в направлении от источника (неоднородные волны), получим следующие выражения для создаваемых в волноводе нормальных волн:

Будет ли волна данного номера распространяющейся или неоднородной — определяется для данного волновода только частотой излучения и не зависит от положения монополя в волноводе. Но степень возбуждения, т. е. амплитуда нормальной волны, от этого положения зависит для всех волн (кроме нулевой) и может изменяться от нуля (при помещении монополя в узел распределения давления нормальной волны) до максимального значения (в пучности распределения). Максимальная степень возбуждения распространяющихся волн по мере увеличения номеров растет, а степень возбуждения неоднородных волн падает. Амплитуда данной распространяющейся нормальной

волны с ростом частоты убывает, а амплитуда неоднородной волны растет. Общее правило для распространяющихся и неоднородных волн — увеличение степени возбуждения по мере приближения к критической частоте. При частоте ниже критической для волн номеров и распространяется только одна нулевая нормальная волна.

Нормальные волны, создаваемые в волноводе монополем, можно интерпретировать еще и по-другому. Одна стенка равносильна появлению мнимого излучателя. Вторая стенка вызывает появление еще одного мнимого излучателя; кроме того, оба эти мнимых излучателя, отвечающие двум первым отражениям прямого звука, отражаются в свою очередь в противоположных стенках. Это дает, помимо однократных первых отражений, мнимые излучатели, соответствующие двукратным отражениям — по разу от каждой стенки. Точно так же появляются мнимые излучатели, соответствующие трехкратным, четырехкратным и т. д. отражениям от стенок. Эти отражения создадут периодическую цепочку излучателей с периодом, равным двойному расстоянию между стенками. Кроме того, отражения во второй паре стенок всей этой цепочки приведут окончательно к появлению двоякопериодической решетки излучателей с периодами

Таким образом, формулы (98.1) и (98.2) дают также поле, создаваемое в неограниченной среде такой двоякопериодической решеткой излучателей. Отсюда следует, в частности, что если периоды подобной решетки, помещенной в неограниченную среду, меньше длины волны, то такая решетка ничего не излучает, кроме «нулевого спектра» — плоской волны, распространяющейся перпендикулярно к плоскости решетки. Никаких боковых спектров такая решетка создать не может (см. § 35).

Поле бесконечной цепочки, естественно, сильно отличается от поля одного монополя в неограниченной среде. Поэтому мы можем ожидать, что мощность излучения данного монополя еще сильнее изменится при помещении его в волновод, чем при помещении вблизи стенки. Кроме того, излучаемая мощность может зависеть и от положения монополя в волноводе. Рассчитаем эту мощность.

Излучаемая мощность определяется только распространяющимися волнами, а в силу ортогональности волн разных номеров мощности, уносимые отдельными волнами, аддитивны. Нулевая волна переносит мощность

(в обе стороны). Замечательно, что эта величина не зависит ни от положения монополя, ни от частоты излучения. Она равна половине мощности, излученной в виде плоской волны поршнем, закрывающим волновод, для которого произведение площади на линейную скорость равнялось бы объемной скорости данного

монополя. Отношение мощности к мощности излучаемой монополем с той же объемной скоростью в неограниченную среду, равно, согласно (90.4),

где К — длина волны звука, площадь сечения трубы. Отсюда видно, что в узкой трубе излучение может во много раз превосходить излучение в неограниченную среду того же источника звука. При стремлении площади сечения трубы или частоты к нулю мощность, излучаемая монополем с данной объемной скоростью, растет безгранично.

Пока частота настолько мала, что высшие нормальные волны еще не распространяются, (98.3) дает полную излучаемую в волновод мощность. Но по мере повышения частоты в передачу мощности по волноводу будут включаться все новые и новые нормальные волны. До достижения критической частоты данная волна не передает мощности. В момент достижения критической частоты возникает передача бесконечной мощности. При дальнейшем увеличении частоты излучаемая мощность падает, стремясь асимптотически к мощности передаваемой с нулевой волной.

Поясним физический смысл этого парадоксального результата: наличия бесконечных пиков мощности на критических частотах. Расчет дал бесконечное значение мощности потому, что по предположению объемная скорость не изменилась; при этом давление в создаваемой волне действительно стремилось бы к бесконечности при приближении частоты к критической. Но всякий первичный двигатель, приводящий в движение излучатель, располагает лишь ограниченной мощностью и. способен развивать лишь ограниченные силы. Поэтому при приближении к критической частоте амплитуда объемной скорости не сможет оставаться постоянной и будет стремиться к нулю так, чтобы излученная мощность оставалась равной располагаемой мощности двигателя. При этом амплитуда других нормальных волн обратится в нуль: на критической частоте какой-либо нормальной волны фактически возбудится только эта волна.