§ 111. Малое препятствие, отличающееся от среды только плотностью

Степень сжатия такого препятствия та же, что и окружающей среды, поэтому оно не создает монопольного рассеяния. Но скорость препятствия отличается от скорости окружающих частиц среды: если плотность препятствия больше, чем плотность среды, то оно отстает от частиц среды, а если его плотность меньше, чем у среды, то оно обгоняет частицы. В результате препятствие движется относительно среды и поэтому создает в среде излучение дипольного типа. Это излучение и есть поле, рассеиваемое данным препятствием.

При малых размерах препятствия можно считать, что оно движется относительно среды, как в несжимаемой жидкости. Пусть скорость частиц в звуковой волне в месте расположения препятствия есть Можно считать, что жидкость колеблется вблизи препятствия как целое. Скорость тела обозначим через и. При неравенстве плотностей она отличается от скорости среды. Скорость движения тела относительно среды равна Следовательно, рассеянное поле совпадает с излучением, которое создавало бы данное тело, двигаясь в неподвижной среде со скоростью Поэтому, определяя силу диполя и само рассеянное поле, можем воспользоваться уравнениями (106.3) и (106.4), заменяя в них заданную скорость телаотносительно среды пока неизвестной скоростью Переходя к тензорным обозначениям, получим силу диполя и рассеиваемое поле в виде

где тензор присоединенных масс для рассеивающего препятствия.

Для нахождения неизвестной скорости тела и,- составим уравнение движения тела. Если бы оно двигалось со скоростью окружающей среды, то сила, действующая со стороны среды, равнялась бы массе среды в объеме тела, умноженной на ускорение, т. е. . К этому надо добавить реакцию среды, вызванную движением тела относительно среды, равную, согласно (106.1): Следовательно, результирующая сила, действующая на тело, есть и уравнение движения препятствия можно записать так:

где масса препятствия. Пользуясь тождеством запишем уравнение движения в более симметричном

Отсюда найдем, интегрируя по времени, такое же соотношение между скоростями тела и среды:

Решим эти уравнения относительно неизвестных компонент скорости тела. Умножая обе части уравнения (111.4) на тензор определенный формулой (106.5), получим

Таким образом, компоненты скорости тела — линейные однородные функции от компонент скорости частиц среды в месте нахождения препятствия, причем коэффициенты — вещественные числа. Следовательно при прямолинейных траекториях частиц среды (например, в однородной плоской волне) тело также будет колебаться по прямой.

Скорость тела относительно среды найдем, вычитая из (111.5) тождество Это дает

Направление колебаний тела и направление силы диполя рассеяния различны. Эти направления совпадают только для трех взаимно перпендикулярных направлений падения волны — направлений главных осей тензора присоединенных масс. Выбирая оси координат параллельными этим направлениям, получим из (III.5)

Здесь — значения компонент для главных осей.

Амплитуда колебаний тем больше, чем меньше собственная масса рассеивающего тела. Для тела в виде тонкой пустой оболочки его собственной массой можно пренебречь по сравнению с присоединенными массами; тогда формулы (111.7) перейдут в такие:

В этом случае скорость колебаний тела всегда больше скорости частиц среды и особенно велика для тех главных направлений, в которых компонента тензора присоединенных масс мала. Поэтому амплутуды колебаний могут сильно различаться при различных направлениях падения волны на тело, особенно при сильной сплюснутости («тарелка») или вытянутости («игла»). Скорость велика при падении волны вдоль иглы или в плоскости тарелки и мала (примерно равна скорости среды) при падении перпендикулярно к игле или плоскости тарелки. Для рассмотренного в § 106 безмассового эллипсоида вращения с отношением осей

10 : 1 скорость колебаний при падении волны вдоль большой оси будет превосходить скорость частиц среды в 48,6 раза, а при падении вдоль малой оси — в 2,04 раза.

Тело, отличающееся по плотности от среды и малое по сравнению с длиной волны звука, может быть использовано как направленный приемник звука. В самом деле, установив в теле какое-либо устройство, регистрирующее компоненту скорости колебаний (или смещения) тела в каком-либо направлении, связанном с телом, получим различные показания устройства при падении волны звука с разных направлений. Таким устройством может, например, быть грузик на пружинке, скользящий по направляющей, укрепленной внутри тела. Легко видеть, что такое устройство имеет дипольную характеристику направленности. В самом деле, формула (111.5) показывает, что компонента скорости , соответствующая оси которую расположим вдоль направляющей, есть скалярное произведение вектора скорости среды на вектор не зависящий от направления падения волны. Значит, действительно, характеристика устройства косинусообразная при любом расположении направляющей.

Ось характеристики направленности вообще не совпадает с направляющей. Совпадение будет только для направляющей, расположенной вдоль одного из главных направлений тензора присоединенных масс. Так как амплитуда колебаний тела по разным направлениям различна, то различной окажется и чувствительность такого приемника звука при разных расположениях направляющей. При чувствительность максимальна при расположении направляющей вдоль оси наименьшей главной компоненты тензора присоединенных масс; при чувствительность максимальна для оси наибольшей главной компоненты.

Вернемся к формуле для силы диполя. Пользуясь (111.3) и (111.5), получим из (111.1)

Для случая падения волны вдоль одной из главных осей найдем

Рассеянное поле для падения вдоль оси равно

и аналогично для направлений

Интересно рассмотреть два крайних случая: масса рассеивающего тела равна нулю и масса тела равна бесконечности

(закрепленное тело или тело «бесконечной массы»). Для безмассового тела сила диполя равна

Для закрепленного тела сила диполя равна

Для безмассового тела наибольшая сила диполя получается в направлении наименьшей из главных компонентов тензора присоединенных масс; для закрепленного тела — в направлении наибольшей компоненты. Отношение сил диполя при падении звука вдоль главной оси на безмассовое и на такое же по форме закрепленное тело равно Для удлиненного в направлении падения волны тела («игла») безмассовое тело даст большее рассеяние, а для сплющенного в направлении падения тела («тарелка») большее рассеяние даст закрепленное тело. Для сферического тела следовательно, амплитуда дипольного рассеяния, создаваемого безмассовой сферой (газовый пузырек в жидкости), по амплитуде вдвое больше, чем для закрепленной сферы, а мощность рассеяния больше в 4 раза.

Если плотность тела мало отличается от плотности среды, то можно положить где Тогда из (111.10) получим приближенно силу диполя в виде

В этом случае и направление колебаний тела, и ось диполя рассеяния приближенно совпадают с направлением падения волны. Сила диполя, а значит, и рассеяние определяются только объемом препятствия и различием плотностей тела и среды, а форма тела и его ориентировка относительно падающей волны роли не играют. Случай малого различия плотностей находит применение в важной задаче о рассеянии звука в слабо неоднородной по плотности среде (см. § 114).

Чтобы найти выражение для рассеиваемой мощности, отнесем движение к главным осям и подставим в формулу (104.2) выражения для из

Для сферы радиуса а получим

Так, безмассовая сфера (например, газовый пузырек в воде) создает дипольное рассеяние мощностью

Для закрепленной сферы

Дипольное рассеяние на пузырьке оказывается в 4 раза больше, чем для закрепленной сферы. Соответственные сечения рассеяния (падающую мощность берем в виде для этих двух случаев составляют (4/3) что по порядку вёличины совпадает с сечением для монопольного рассеяния на несжимаемой сфере.

Рис. 111.1. актеристика рассеяния малой жесткой и неподвижной сферы (первичная волна падает слева).

Вообще произвольный рассеиватель дает одновременно и монопольное, и дипольное рассеяние. Сечения рассеяния для обоих типов аддитивны вследствие ортогональности полей монопольного и дипольного типа ргирг. В самом деле, характеристика направленности монополя сферически-симметрична, а характеристика диполя меняет знак при перемене направления на обратное. Поэтому в симметричных относительно рассеивателя точках давления в рассеянном поле будут соответственно . В выражения для потоков мощности члены с произведением давлений войдут с разными знаками и в сумме уничтожатся, так что останутся только квадраты давлений, отвечающие обоим типам рассеяния в отдельности. В частности, для несжимаемой закрепленной сферы найдем:

Соответственная характеристика направленности рассеяния для бегущей первичной волны получится как суперпозиция характеристик для несжимаемой сферы, имеющей плотность среды, и бесконечно тяжелой сферы, имеющей сжимаемость среды.

Рассеянные поля, согласно (110.1) и (111.11), равны соответственно (вдали от рассеивателя)

Складывая поля и нормируя полученный результат к единичному значению максимальной амплитуды, получим характеристику направленности по давлению в виде

где угол отсчитывается от направления падения волны. На рис. 111.1 дано сечение этой характеристики плоскостью, проходящей через направление падения волны. Наибольшее рассеяние создается в направлении навстречу падающей волне. Нули характеристики направленности соответствуют углу , т. е. .