§ 67. Вынужденные колебания в трубах

Мы видели, что свободные колебания в трубе могут происходить только при определенных частотах. Но если на среду оказывать стороннее воздействие, то можно создать в трубе (вынужденное) колебание произвольной частоты. Здесь есть аналогия с сосредоточенными колебательными системами, в которых также частоты собственных колебаний образуют дискретный набор, но которые могут колебаться на любой частоте, если на них воздействовать с силой, имеющей эту частоту. Как и в сосредоточенных системах, при совпадении частоты вынуждающего воздействия с какой-либо собственной частотой трубы возникают резонансные явления.

Вынуждающее воздействие может иметь различный характер: это может быть заданное движение крышки, сила, приложенная к концу трубы или в какому-либо сечению трубы, это может быть сторонний источник жидкости, распределенный по какому-либо сечению внутри трубы, и т. п. Ввиду узости трубы безразлично, распределен ли источник жидкости (или сторонняя сила) равномерно по всему сечению или сосредоточен в одной точке сечения, эффект стороннего воздействия в обоих случаях будет одинаков.. Особенно важны случаи, когда сторонние воздействия действуют не в одном каком-либо сечении, но распределены вдоль всей трубы; таковы воздействия электрических и магнитных полей на пластины или стержни электромеханических излучателей, которые, так же как и трубы, можно рассматривать как отрезки длинных линий.

Рассмотрим различные случаи возбуждения трубы сторонними гармоническими воздействиями. Собственные колебания трубы можно не учитывать: если они и имели место, то при сколь угодно малом трении они с течением времени затухнут. На вынужденные колебания трение практически не влияет, за исключением случая резонанса, когда установившиеся колебания возможны только при наличии трения, а амплитуда колебаний на резонансе и вблизи него зависит от величины трения.

Рассмотрим вначале, возбуждение трубы с одного конца. Пусть труба закрыта с одного конца крышкой с входной проводимостью а на другом конце задана сторонняя сила частоты , создающая

в этом конце давление Создаваемое такой силой колебание в трубе имеет ту же частоту, а давление распределено вдоль трубы по закону -

Из условия на первом конце найдем

Амплитуду А найдем из условий возбуждения, т. е. из условия на втором конце:

отсюда

и, следовательно, искомое колебание есть

Если при данной частоте конец трубы, к которому приложено стороцнее давление, совпадает с пучностью давления, т. е. если то вынужденное колебание имеет наименьшую амплитуду, равную амплитуде стороннего давления. По мере удаления точки приложения стороннего давления от пучности и приближения ее к узлу давления собственного колебания, труба возбуждается все сильнее. При частоте, для которой точка приложения стороннего давления есть узел давления, наступает резонанс. Это — частота собственных колебаний трубы с открытым вторым концом. Таким образом, при резонансе . Наименьшее возбуждение соответствует собственной частоте трубы с закрытым вторым концом.

Аналогично решается задача при задании на втором конце, трубы скорости частиц (например, при помощи колеблющегося поршня, вставляемого во второй конец трубы). Форма колебания и в этом случае будет иметь вид (67.1). Если сторонняя скорость у второго конца трубы равна то амплитуда колебания найдется из условия возбуждения, т. е. из условия на втором конце:

Следовательно, в этом случае , и колебание имеет вид

Выражение для скорости частиц примет вид, аналогичный (67.1)

Резонанс при данной сторонней скорости наступает при частоте собственных колебаний трубы, закрытой со второго конца абсолютно жесткой крышкой. Таким образом, при резонансе Амплитуда колебания тем больше, чем ближе точка задания сторонней скорости к узлу скорости.

Трубу можно возбуждать, сообщая частицам скорости или прикладывая давление не обязательно у конца трубы, но в любой точке (в любом сечении) внутри нее. Пусть, например, труба разделена в точке на две части безмассовым тонким поршнем, к которому приложена сила Трубу будем считать закрытой с обеих сторон абсолютно жесткими крышками. Чтобы найти движение в трубе, заметим, что в силу граничных условий на крышках давление в левой части трубы должно иметь вид

и в правой части — вид

Две неизвестные амплитуды колебаний найдутся из условий на поршне:

т. е. должно быть выполнено условие равенства скоростей по обе стороны поршня, а разность давлений с обеих сторон должна уравновешивать стороннюю силу, действующую на поршень площади Подставляя выражения для полей, найдем

откуда

Резонанс наступит при совпадении частоты возмущающей силы с одной из собственных частот трубы, т. е. при условии

Нетрудно решить эту же задачу и для других видов крышек. Так, для трубы, открытой с обоих концов, найдем

где

Для трубы, у которой слева жесткая, а справа мягкая крышка,

где

Для трубы, закрытой крышками с проводимостями

где

Амплитуды колебаний равны

При любых крышках резонанс наступает при совпадении частоты возмущающей силы с одной из собственных частот трубы с заданными крышками.

Аналогичные задачи возникают и в случае, когда в трубу помещен источник жидкости. Пусть объемная скорость источника (количество жидкости, подаваемое за единицу времени) равна Тогда поля в каждой из частей трубы, на которые она разделена источником, - можно взять в том же виде, что и при задании силы. Но условия в месте помещения источника будут другие: в этом случае должны выполняться условия

Амплитуды для колебаний в левой и. правой частях трубы выразятся следующими формулами: для жестких крышек

для мягких крышек

для трубы, у которой слева жесткая, а справа мягкая крышка,

для крышек с проводимостями

Пользуясь найденными выражениями для амплитуд волн, возникающих в трубе слева и справа от источника звука, можно определить поле в трубе и в случае, когда источники звука распределены по всей длине трубы. Возьмем для определенности трубу с обеими жесткими крышками и предположим, что по всей длине

трубы распределены сторонние силы с плотностью Сила, действующая на элемент в сечении даст, согласно (67.3), в части трубы слева от точки поле

и в правой части трубы — поле

Чтобы найти суммарное поле в точке х трубы, вызванное всеми сторонними силами, достаточно проинтегрировать все поля вида (67.10), (67.11), по причем для области слева от точки наблюдения следует брать формулу (67.11), а для области справа от точки наблюдения — формулу (67.10), так как в первом случае точка наблюдения лежит справа от источников, а во втором — слева. В итоге получаем

Например, для равномерного распределения силы вдоль трубы найдем

И в этом случае для наступления резонанса необходимо, чтобы частота возмущающей силы совпадала с частотой какого-либо собственного колебания трубы. Но этого условия недостаточно; в самом деле, при (что соответствует собственным частотам трубы) имеем

значит, при нечетном резонанс есть, а при I четном резонанса нет (в нуль обращается не только знаменатель выражения для давления, но и числитель). Это легко понять, если учесть, что передача энергии среде в трубе это работа сторонних сил при перемещении частиц. При I четном по длине трубы укладывается четное число полуволн и каждой частице с какой-либо определенной скоростью соответствует другая со скоростью равной и прямо

противоположной, так что суммарная работа над всей средой в трубе оказывается равной нулю. При I нечетном этого не будет: остается одна нескомпенсированная полуволна.

Для трубы, открытой с обоих концов, найдем аналогично

Для равномерного распределения силы вдоль трубы получится Никакого звукового колебания в этом случае нет: вся среда в трубе осциллирует как целое со скоростью

При частоте резонанса и вблизи нее при расчете амплитуды вынужденного колебания нельзя пренебрегать поглощением звука. Если поглощение отсутствует, то при резонансной частоте вообще нет установившегося колебания и амплитуда растет безгранично. При резонансе возможно нарушение линейности вследствие роста амплитуды еще до того, как затухание ограничит рост колебания. Мы будем все же считать, что линейность не нарушается (некоторые специальные явления при нелинейных колебаниях в трубах рассмотрим в гл. XIII), и учтем потери энергии.

В реальных условиях в трубах могут наблюдаться процессы поглощения энергии различного рода. Основные механизмы — это поглощение колебательной энергии на стенках трубы вследствие вязкости среды и поглощение на крышках при наличии активной составляющей проводимости. Вязкость в самой среде всегда также приводит к поглощению энергии, однако малому по сравнению с тем, которое вызывается влиянием вязкости у стенок. Впрочем, действие вязкости в обоих случаях неразличимо и его можно учесть, считая, что волновое число комплексно: (см. гл. XII).

Будем считать (это всегда имеет место в практически важных случаях), что затухание колебаний мало. Это значит, что выполняется условие . В этом случае распределение давлений и скоростей вдоль трубы мало отличается от распределения вне резонанса при отсутствии поглощения, но амплитуда резонансных колебаний существенно зависит от В самом деле, рассмотрим этот случай, полагая для простоты, что труба имеет одну жесткую крышку и возбуждается давлением, приложенным у второго, открытого конца. В этом случае и, подставляя в (67.1) вместо комплексное волновое число получим

Резонансная частота колебания номера I соответствует значению . При этой частоте решение имеет вид

Максимальная амплитуда у жесткой крышки равна

Полуширина резонансной кривой соответствует изменению величины на т. е. относительному изменению частоты Следовательно, добротность колебания составляет и не зависит явно от номера колебания. Зависимость, однако, имеется ввиду того, что сама величина растет с повышением частоты.

Теперь найдем, как влияет активное сопротивление крышки на резонансную амплитуду колебания. Пусть проводимость крышки — чисто активная и величина мала по сравнению с единицей. Снова предположим, что второй конец трубы открыт и к нему приложено стороннее давление Полагая в (67.1) получим

Резонансная частота колебания номера I соответствует . При этой частоте решение имеет вид

Максимальная амплитуда равна приближенно