§ 84. Скорость частиц в сферически-симметричной волне

В силу симметрии скорость частиц в сферически-симметричной волне направлена по радиусу-вектору и, как и давление, зависит, помимо времени, только от расстояния от центра волны. Поэтому, согласно (13.3), в сферической волне

где скорость частиц в момент времени Если до какого-то момента времени возмущение в данной точке отсутствовало, то

Для бегущей волны, как легко получить из (83.2),

Верхний знак относится к расходящейся, а нижний — к сходящейся волне.

Мы видим, что в сферической бегущей волне скорость частиц не пропорциональна давлению в тот же момент, как это имеет место в плоской бегущей волне, а связана с давлением более сложной зависимостью, содержащей также расстояние от центра волны, а главное — содержащей всю историю волны до рассматриваемого момента. Асимптотически, при стремлении радиуса к бесконечности, получается соотношение -такое же, как и для плоской волны. При конечном скорость частиц представляется суммой двух слагаемых. Первое из них связано с давлением той же зависимостью, что и полная скорость частиц в плоской волне; профиль этого слагаемого воспроизводит профиль Давления. В частности, это слагаемое изменяется по тому же закону, что и давление: обратно пропорционально расстоянию от центра волны. Второй член спадает быстрее — как Поэтому вблизи от центра волны это — главный член, а вдали им можно пренебрегать.

Второй член сохраняется и в несжимаемой жидкости (при замене на в аргументе когда вся среда движется синфазно, и волны, собственно, нет; первое слагаемое обращается при этом в нуль. Поэтому второй член называют неволновым, а первый — волновым. Соответственно расстояния, на которых этот член играет существенную роль, называют неволновой зоной. сферической волны, а большие расстояния относят к волновой зоне. Размеры неволновой зоны определяются временным характером возмущения. Качественно можно сказать, что для быстропеременных процессов радиус неволновой зоны мал, а для медленных процессов — велик. Для гармонического процесса критерием является величина Всю область следует считать неволновой зоной (при оба члена равны по модулю); область (расстояния, много большие длины волны) — это волновая зона. При негармонических процессах для качественной оценки (другой в этом случае нет) следует сравнивать время пробега звуком расстояния от центра волны до рассматриваемой точки с характерным временем Т изменения давления на величину порядка самого давления. При точка лежит в неволновой зоне, при в волновой зоне.

Далеко за пределами неволновой зоны, на большом расстоянии от центра волны, поле сферической волны является локально-плоским. Мы подразумеваем под этим, что в пределах участков, больших по сравнению с длиной волны, но малых по сравнению с расстоянием от центра, поле сферической волныможно с большой

точностью изобразить как поле некоторой плоской волны. Эта изображающая волна бежит в направлении радиуса-вектора данного участка, а ее амплитуда обратно пропорциональна расстоянию участка от центра.

Интеграл в (84.1) имеет наглядный физический смысл. Это суммарный импульс звукового давления за все время от до рассматриваемого момента времени Мы видели, что этот интеграл обращается в нуль при бесконечном верхнем пределе при условии, что звук длился конечное время. Для частного случая сферически-симметричной волны эту теорему можно заново получить из (84.1), считая, что на верхнем пределе величины и о обращаются в нуль. Заметим, что, несмотря на равенство нулю среднего давления, результирующее смещение частиц после прохождения сферической волны может отличаться от нуля. Так будет, например, если волна создана сферой, изменившей свой радиус.

Так как величина в бегущей волне зависит только от комбинации то из равенства (82.1) легко получить, что если в данный момент как в центре волны, так и на бесконечности возмущение отсутствует, то выполняется равенство.