§ 74. Создание гармонического поля в волноводе

До сих пор мы рассматривали только «свободные волны» волноводе, т. е. волны, способные распространяться в волноводе в отсутствие сторонних воздействий. Практически всегда волны создаются некоторыми «источниками» — сторонними воздействиями. Рассмотрим волны, создаваемые в волноводе заданными распределениями по какому-либо сечению волновода гармонически меняющихся с течением времени сил или х-компонент «скорости частиц. Это задача об излучении звука в волновод.

Если сторонние давления (или сторонние х-компоненты скорости) распределены в сечении так же, как они распределены в нормальной волне какого-либо номера при той же частоте, то в полуволноводе, прилегающем к этому сечению, побежит нормальная волна соответственного номера. Суперпозиция таких распределений по сечению даст в полуволноводе суперпозицию соответственных нормальных волн. Естественно возникает вопрос, получится ли в полуволноводе суперпозиция нормальных волн и для произвольного распределения по излучающему сечению давлений или скоростей частиц. Можно показать, что при стенках волновода, характеризующихся нормальной проводимостью, ответ утвердительный. Не решая этой общей задачи, дадим только способ эффективного нахождения всех создаваемых нормальных волн для простейшего случая волновода с абсолютно жесткими стенками.

Пусть в поперечном сечении волновода задано распределение сторонних давлений , не зависящее от

координаты у, и требуется найти поле в правом полуволноводе. Разложим функцию в ряд Фурье по функциям, дающим поперечное распределение давлений в нормальных волнах разных порядков для данного волновода, т. е. по функциям Как известно из теории рядов Фурье, эти косинусы образуют лолную ортогональную систему функций на отрезке , и поэтому любое распределение сторонних давлений (если оно удовлетворяет некоторым условиям, всегда оказывающимся выполненными в случаях, имеющих физический интерес) можно единственным способом представить в виде такого ряда. Разложение будет иметь вид

где

Но каждому слагаемому ряда можно поставить в соответствие нормальную волну, бегущую в положительном направлении, вида

Следовательно, искомое поле имеет вид

В самом деле, мы получили суперпозицию нормальных волн, уходящих от источника и дающих на плоскости как раз требуемое распределение давления. С другой стороны, поле типа уходящих волн, для которого заданы на границах значения давления или нормальной скорости (в данном случае давление задано на поперечном сечении волновода а нормальные скорости — на стенках полуволновода, где они обращаются в нуль), определено однозначно. Значит, найденная суперпозиция нормальных волн является единственным решением данной задачи.

Аналогично можно решить задачу для случая, когда на сечении задано распределение нормальных скоростей частиц: . Снова разложим заданное распределение в ряд Фурье по косинусам:

где

Каждому слагаемому ряда можно поставить в соответствие нормальную волну, бегущую в положительном направлении. В данном случае такая волна будет иметь вид

где фазовая скорость нормальной волны номера Искомым полем явится суперпозиция всех найденных таким образом нормальных волн:

Это разложение создаваемого поля по нормальным волнам также является единственным.

Тот же способ расчета поля можно провести и для волновода с идеально мягкими стенками с той разницей, что в этом случае в качестве полной ортогональной системы на отрезке следует взять набор синусов Поэтому и для такого волновода любое поле, излученное заданным распределением давления или х-компоненты скоростей частиц по поперечному сечению, также может быть, единственным образом представлено в виде суперпозиции нормальных волн данного волновода. То же утверждение верно и для волновода с одной абсолютно жесткой и одной абсолютно мягкой стенкой. Полная ортогональная система функций в этом случае также дается распределениями давления или х-компоненты скоростей частиц в нормальных волнах данного волновода.

Наконец, можно показать, что в волноводе с любыми импедансными стенками функции распределения давлений или х-компоненты скоростей частиц для всех нормальных волн образуют полную ортогональную систему функций на отрезке ( хотя эта система функций является набором косинусов некратных дуг. Эти функции имеют вид , где все значения определяются из граничных условий. Во всех случаях полнота системы обеспечивает возможность представить данное распределение давления (или х-компоненты скорости частиц) по сечению суперпозицией соответственных распределений по сечению для

нормальных волн данного волновода; поэтому излучаемое поле можно представить в виде суперпозиции убегающих нормальных волн. Ортогональность же системы обусловливает единственность такого представления.

Легко доказать ортогональность любых двух различных нормальных волн волноводе с нормальной проводимостью стенок. Напомним, что ортогональностью называется обращение в нуль интеграла по сечению:

Так как х-компонента скорости пропорциональна давлению, то условие ортогональности для этой компоненты выражается той же формулой.

Для доказательства справедливости этого равенства напишем раньше всего уравнения, которым удовлетворяют какие-либо две различные нормальные волны в виде

Умножая первое уравнение на а второе на вычитая почленно и интегрируя, найдем

Но первый член обращается в нуль в силу импедансных условий на границах волновода. С другой стороны, для разных нормальных волн различны величины и . Следовательно, должно быть

что и требовалось доказать. Доказательство полноты рассматриваемой системы функций затрагивать не будем.

В получающихся суперпозициях нормальных волн распространяющиеся волны представлены только теми несколькими первыми номерами, для которых (например, в волноводе с абсолютно жесткими стенками — только волнами, номера которых

удовлетворяют неравенству Все волны высших номеров экспоненциально затухают и заметны только вблизи исходного сечения волновода. Поэтому на большое расстояние передастся не вся структура распределения поля со всеми ее деталями, заданная в исходном сечении, а лишь ее наиболее плавная часть, которую изображают первые члены разложения по косинусам или синусам. Мелкие детали, «тонкая структура» распределения давлений оказывается «срезанной». Волновод не может передавать детали мельче половины длины волны звука. Если ширина волновода меньше половины длины волны, то, каково бы ни было распределение давлений или х-компоненты скорости частиц в данном сечении, на большом расстоянии от этого сечения будет распространяться только плоская волна. В этом случае, каков бы ни был излучатель, помещенный в волновод, наблюдая поле вдали от него, можно только установить наличие работающего источника звука, да еще интеграл давления по сечению (величину ), но никаких заключений об исходном распределении давлений по сечению сделать нельзя.

Если представить каждую нормальную волну в виде суперпозиции двух плоских волн, то окажется, что в волноводе имеется только конечный дискретный набор направлений, в которых бегут эти плоские волны (последовательно отражаясь от стенок), причем эти направления никак не зависят от исходного распределения давлений или скоростей по сечению и меняются только при изменении частоты. Какой-нибудь остронаправленный приемник звука в волноводе принимал бы сигнал только с этих нескольких направлений. От исходных распределений будут зависеть только амплитуды волн, бегущих по этим нескольким направлениям.

Между полями, создаваемыми в волноводе с идеальными стенками сторонними воздействиями, распределенными по какому-либо сечению, и полями, создаваемыми в неограниченном полупространстве периодическим распределением давлений или нормальных скоростей по границе полупространства, есть глубокая связь. В самом деле, можно зеркально «отразить» в каждой из стенок волновода как распределения сторонних давлений по сечению, так и звуковые поля в волноводе и стенки волновода, и можно продолжать такие отражения неограниченно. После тогокак выполнено каждое отражение, промежуточные стенки можно убирать, не нарушая полей, так как, например для абсолютно жестких стенок в силу симметрии нормальные скорости на стенках и их отражениях равны нулю, а давления равны по обе стороны от стенок. В результате мы приходим к полупространству, на границе которого задано периодическое распределение сторонних давлений, т. е. к задаче, рассмотренной в §§ 33, 34. Мы знаем, что в полупространстве получающееся поле состоит из (распространяющихся и неоднородных) спектров, бегущих по разным направлениям. Эти спектры и совпадают с теми плоскими волнами, из которых состоят нормальные волны волновода.