§ 51. Теория длинных линий

Мы уже говорили, что одномерная задача о распространении волн в жидкой среде допускает, помимо плоской волны в неограниченной среде, целый ряд других интерпретаций, в которых тем же соотношениям, что имеют место для давления и скорости частиц в жидкости, удовлетворяют другие величины. Различные интерпретации может получить и плотность среды. Неизменной остается интерпретация скорости волны: все переменные величины в волне зависят от времени и координаты только через биномы где с есть величина, характерная для данной среды, —

скорость звука или, вообще говоря, скорость одномерного возмущения (при отсутствии дисперсии).

Можно дать различные интерпретации не только задаче о волне, бегущей в неограниченной среде, но и всей развитой в этой главе теории отражения от препятствий, прохождения через препятствия и прохождения через границу двух сред. Можно также характеризовать препятствия граничными условиями, налагаемыми на величины, соответствующие давлению и скорости частиц. Тогда при одинаковой форме граничных условий и величины коэффициента отражения, коэффициента прохождения, импеданса и т. д. получатся такие же, как и в предыдущих параграфах, хотя физически все элементы среды будут иными.

Например, для поперечных волн на струне угол наклона можно интерпретировать как сжатие, а поперечную скорость — как скорость частиц; при этом погонная плотность будет соответствовать объемной плотности среды в задаче о плоских волнах, а натяжение струны — модулю объемной упругости среды. Связывая две полубесконечные струны, придем к задаче, эквивалентной задаче о двух различных полубесконечных средах, граничащих по плоскости. Так как натяжение одинаково в обеих «полу-струнах», что отвечает равенству модулей упругости, то квадрат коэффициента преломления равен в данной интерпретации отношению погонных плотностей: (плотности второй струны к плотности первой). Коэффициент отражения от границы между струнами с плотностями равен

«Свободную границу» для струны можно осуществить, привязывая ее к струне нулевой плотности. Жесткую границу можно осуществить, привязывая струну к неподвижному телу.

С формальной точки зрения все интерпретации вполне равноправны, так как для каждой из них набор уравнений и граничные условия для изучаемых величин одни и те же. Поэтому для каждой интерпретации в соответственных случаях будем всегда приходить к одним и тем же окончательным формулам, в которые останется только подставлять те или иные физические величины, соответственно выбранной интерпретации. Такое единое рассмотрение всех подобных одномерных волновых задач получило название теории длинных линий. Теория длинных линий позволяет рассматривать отражение от препятствий, прохождение через границу двух сред, прохождение волны через «многослойную» систему, когда на пути волны стоят участки различных сред и требуется найти отраженное и прошедшее поле, а также поле внутри каждой из сред. В числе слоев могут быть и сосредоточенные препятствия, например, сосредоточенные массы или упругости.

Все задачи, которые можно решать методами теории длинных линий, относятся к средам, в которых уравнение распространения для величин, соответствующих давлению и скорости частиц, есть волновое уравнение вида

Не всякая одномерная волна есть решение именно такого уравнения. Например, поперечные волны на стержне описываются, как мы видели, уравнением четвертого порядка и для него волна вида является решением, только если это гармоническая волна, а распространение волн происходит с дисперсией. К таким средам теория длинных линий, конечно, неприменима.