§ 114. Рассеяние звука в слабо неоднородной среде

В предыдущей главе мы рассматривали рассеяние звука на препятствиях в виде включений с другими механическими свойствами, чем у среды. Мы видели, что для малых размеров препятствий по сравнению с длиной волны звука рассеяние можно найти, сколь сильно бы ни различались механические свойства среды и препятствий.

В этом параграфе мы займемся рассеянием звука в среде, не имеющей резко выделенных неоднородностей, отдельных «включений», но свойства которой меняются от точки к точке непрерывно случайным образом. Практически важность этой задачи состоит в том, что атмосфера и вода в море обладают неоднородностью именно такого типа: температура воздуха и воды колеблется от точки к точке, плотность же и сжимаемость зависят от температуры. В воде зависимость плотности от температуры в обычных условиях весьма мала, и учитывать приходится только зависимость сжимаемости от температуры: вблизи 20° С сжимаемость увеличивается примерно на 0,4% при повышении температуры на один градус. В воздухе от температуры зависит только плотность: плотность уменьшается примерно на 0,3% при повышении температуры на 1 °С.

Помимо температурной зависимости, плотность и сжимаемость воды и воздуха меняются регулярно по высоте вследствие наличия силы тяжести. Это изменение свойств среды также влияет на распространение звука и вообще должно быть учтено. Но в этой главе мы рассмотрим только роль статистических изменений механических свойств среды от точки к точке.

Задачу поставим следующим образом. Будем считать, что на ограниченный однородный участок среды падает некоторая заданная первичная волна (например, плоская волна). Та добавка, которую создаст неоднородный участок в дополнение к первичному

полю в среде без неоднородностей, и есть искомая рассеянная волна. Найти эту волну удается в том случае, когда свойства среды мало отклоняются от своих средних по пространству значений, а статистические характеристики отклонений остаются одинаковыми во всей рассеивающей области. В этом случае рассеяние можно найти (приближенно), не налагая никаких ограничений на характерные пространственные размеры неоднородностей. Решение этой задачи дополняет в известном смысле решение задачи о рассеянии на малых включениях, в которой не было поставлено никаких ограничений для характеристик неоднородностей, но требовалась малость размеров препятствия по сравнению с длиной волны.

Как и для рассеяния на дискретных препятствиях, придется еще наложить условие малости рассеянного поля по сравнению с первичным. Тогда рассеянное поле можно найти методом малых возмущений. За нулевое приближение примем первичную волну в однородной среде, а рассеянную волну будем считать поправкой первого порядка. Для этой поправки можно написать приближенные уравнения; мы увидим, что они отличаются от уравнений нулевого приближения только наличием правой части, зависящей как от первичной волны, так и от неоднородностей среды. Правые части уравнений можно рассматривать как сторонние воздействия — сторонние силы и сторонние объемные скорости. В результате задачу о рассеянии удается свести к задаче об излучении в однородной среде.

Это — тот же прием, какой был применен нами в задаче о дискретных малых включениях, где также задача о рассеянии заменялась задачей об излучении. Отметим, что в задаче о включениях точные уравнения решались приближенно, а в задаче о статистически-неоднородных средах приближенные уравнения решаются точно. Как и в задаче о дискретных рассеивателях, этот метод учитывает только однократное рассеяние на неоднородностях.

Собственно говоря, метод возмущений можно было бы применять не только для случайных, но и для регулярных изменений свойств среды от точки к точке, например в задаче о рефракции звука в море при регулярном изменении сжимаемости среды по глубине. Однако весь метод пригоден только для случая, когда поправка мала по сравнению с первичной волной. При регулярном изменении свойств среды поправка быстро накапливается и растет примерно пропорционально длине пройденного волной пути. В результате поправка быстро делается сравнимой с первичным полем даже при очень малых отклонениях свойств среды от средних значений, и весь метод перестает быть применимым. Так, «зоны тени» в море могут быть вызваны весьма малым регулярным изменением скорости звука по глубине уже на сравнительно небольшом расстоянии от источника звука. При случайном же распределении неоднородностей волны, рассеянные различными участками среды, некогерентны и действие одних

неоднородностей уничтожается действием других. Остаток — рассеянное поле — нарастает поэтому медленно (как можно показать, пропорционально корню квадратному от пройденной длины пути). Поэтому в задаче о рассеянии на случайных неоднородностях метод малых возмущений можно применять для сравнительно больших расстояний.

Впрочем, формулы, которые мы получим для поля, рассеиваемого элементарным объемом среды, справедливы при любом — как регулярном, так и случайном — характере изменения свойств среды по пространству, так как в них входят только локальные свойства среды. Однако. применять эти формулы можно только для расстояний, на которых исходная волна остается еще много большей рассеянного поля.

Итак, пусть свойства среды непрерывно и случайно изменяются от точки к точке и изменения составляют малую долю соответственных средних значений. Уравнения движения и неразрывности в непрерывно неоднородной среде можно написать в том же виде, что и в однородной:

Отличие заключается в том, что здесь коэффициенты уравнений случайные функции координат, а не постоянные величины. Пусть относительные изменения плотности и сжимаемости равны соответственно , т. е.

где средние значения плотности и сжимаемости. Давление и скорость частиц в первичной волне, которые обозначим через должны удовлетворять уравнениям с постоянными коэффициентами:

Обозначим давление и скорость частиц в рассеянном поле через Тогда полное поле, которое должно удовлетворять уравнениям (114.1), выразится суммами Подставляя эти величины в уравнения (114.1) и пользуясь (114.2), найдем

Последние слагаемые слева — малые высшего порядка по отношению ко всем остальным членам. Поэтому будем ими пренебрегать. Тогда для рассеянного поля получатся следующие приближенные уравнения:

Эти уравнения можно рассматривать как поля, создаваемые в однородной среде сторонними объемными скоростями, распределенными с плотностью и сторонними силами, распределенными с плотностью Так как сила приложена к среде, ее можно считать силой диполя. Пусть первичная волна — плоская гармоническая бегущая волна единичной амплитуды давления Тогда сторонняя объемная скорость в элементе объема равна а его сила диполя равна Следовательно, поле, рассеиваемое данным элементом объема, равно

где — соответственно расстояние от рассеивающего объема до точки наблюдения и угол между направлением на точку наблюдения и осью х.

Поле, рассеянное всей неоднородной областью, получится путем интегрирования этого выражения по всей рассеивающей области. Если точка наблюдения расположена достаточно далеко от рассеивающего объема (в волновой зоне по отношению к каждому рассеивающему элементу), то единицей в числителе дипольных членов можно пренебрегать, и рассеянное поле представится в виде

Суммарное рассеяние представлено в виде интеграла от полей монопольных источников, соответствующих неоднородностям сжимаемости, и дипольных источников, соответствующих неоднородностям плотности. Каждый из источников создает поле либо сферически-симметричное (монополи), либо с восьмерочной характеристикой (диполи). Однако результирующее поле может не обладать такой симметрией, поскольку оно образовано суперпозицией полей многих таких источников, расположенных в разных точках и имеющих разные фазы. На большом расстоянии от рассеивающего

объема, где уже успевает сформироваться характеристика направленности для рассеянного поля от всего объема в целом, эта характеристика определяется корреляцией неоднородностей в рассеивающем участке. Если радиус корреляции мал по сравнению с длиной волны звука и если неоднородности плотности и сжимаемости статистически независимы по пространству, то характеристика рассеяния по интенсивности явится просто суперпозицией сферической и восьмерочной характеристик, взятых с соответственным весом. При большом же радиусе корреляции неоднород; ностей среды характеристика будет сильно вытянута в направлении падения первичной волны: рассеянные волны будут распространяться в узком угле вблизи этого направления, а рассеяние вбок и особенно в обратном направлении будет практически отсутствовать.

Поясним, нем обусловлена зависимость направленности рассеяния области в целом от степени корреляции ее неоднородностей. Суммарное рассеяние определится тем, с какими фазами складываются вдали от рассеивающей области поля, рассеянные отдельными элементами среды. Эти фазы зависят как от знака неоднородности (величины могут быть как положительными, так и отрицательными), так и от набега фазы волны, приходящей к данной точке и затем рассеивающейся в этой точке.

Для простоты рассмотрим два рассеивателя , лежащие на прямой, параллельной направлению падения первичной волны. Разность фаз рассеянного поля в какой-либо точке наблюдения М, обусловленная только длиной пробега волны, равна Для рассеяния точно вперед (точка наблюдения разность фаз равна нулю: насколько первичной волне дольше бежать до рассеивателя, настолько же рассеянной волне меньше бежать от рассеивателя до точки наблюдения. Для рассеяния в обратном направлении (точка наблюдения» разность фаз равна добавочная длина пробега равна двойному расстоянию между рассеивателями. Для рассеяния в каком-либо другом направлении разность фаз будет иметь промежуточное значение. Если расстояние точки наблюдения от рассеивателей велико по сравнению с расстоянием между рассеивателями (точка наблюдения во фраунгоферовой зоне по отношению к рассеивателям), то разность фаз будет зависеть от угла наблюдения как и будет, монотонно возрастать при увеличении угла

К указанному геометрическому набегу фаз волн, рассеянных различными участками рассеивающей области, будут еще добавляться скачки фазы на полволны при изменении знака отклонения сжимаемости или плотности от среднего значения. Еслирадиус корреляции флуктуаций мал по сравнению с длиной волны звука, то такие скачки полностью замаскируют регулярный геометрический набег фаз, и можно будет считать, что рассеянные волны в любую точку наблюдения приходят со случайными фазами.

Поэтому получающаяся сумма не будет зависеть от регулярного набега фаз, а только от исходной характеристики направленности отдельных рассеивателей: флуктуации сжимаемости дадут сферическую характеристику, а флуктуации плотности — дипольную, восьмерочную. Для того чтобы найти результирующую характеристику, придется перейти от характеристик по амплитуде к характеристике по интенсивностям. При этом нужно будет учесть абсолютные значения флуктуаций сжимаемости и плотности, беря каждую из характеристик с «весом», пропорциональным интегралу от квадрата флуктуации по всей рассеивающей области.

При большой корреляции флуктуаций в направлении вперед синфазно будут складываться поля от больших участков рассеивающей среды (порядка радиуса корреляции). Рассеянное поле будет велико. В обратном же направлении участок, дающий вклад одного знака, будет только порядка четверти длины волны; знакопеременность величин, складывающихся в интеграле (114.4), будет более частой. В результате рассеянное поле будет мало. В других направлениях будет наблюдаться промежуточная картина. Чем больше радиус корреляции по сравнению с длиной волны, тем больше будет заостряться характеристика направленности, вытягиваясь вдоль направления падения волны. Никакого сходства с характеристикой направленности отдельных рассеивателей не останется.

Как уже было сказано, проведенный выше расчет рассеяния можно применять только до тех пор, пока рассеянное поле остается малым по сравнению с первичным. В противном случае уже нельзя было бы ограничиваться учетом только однократного рассеяния на неоднородностях среды. Соответственно в этом приближении первичную волну можно считать распространяющейся без ослабления вследствие рассеяния: там, где ослабление нужно было бы принять во внимание, требовался бы также учет многократного рассеяния.

Однако в некоторых случаях можно расширить область применимости метода и продолжать пользоваться им и тогда, когда первичная волна сколь угодно ослабевает вследствие рассеяния. Это возможно в тех случаях, когда в результате особых условий распространения однократно рассеянные волны уже больше не участвуют во вторичном рассеянии: например, когда первичная волна — это узкий звуковой пучок и рассеянные волны просто выходят из пучка и практически больше в него не возвращаются. Тогда ослабление первичной волны можно рассчитать, пользуясь энергетическими соображениями.

В самом деле, поскольку амплитуда рассеянной волны в приближении малых возмущений пропорциональна амплитуде первичной, то энергия, рассеиваемая на единичной длине пробега волны, пропорциональна квадрату этой амплитуды, т. е. пропорциональна исходной плотности энергии в первичной волне. Но по закону сохранения энергии эта энергия должна быть равна производной

энергии первичной волны, взятой с обратным знаком. Значит, можно положить где — коэффициент, зависящий от неоднородности среды. Отсюда найдем закон убывания падающей волны:

Аналогичный закон убывания мы получали и для дискретных рассеивателей.

Если рассеянные волны из игры не выходят и рассеиваются вторично и многократно, то рассеянное поле методом малых возмущений найти нельзя, но формула (114.5) сохраняет физический смысл: так убывает энергия среднего поля первичной волны.