§ 76. Волновод с прямоугольным сечением

Откажемся от условия двухмерности движения и рассмотрим все трехмерные нормальные волны в волноводе. Начнем с волновода в виде трубы с прямоугольным сечением и абсолютно жесткими стенками. Выберем систему координат так, чтобы две стенки волновода совпадали с координатными плоскостями Нормальные волны в таком волноводе можно записать в виде (волна, бегущая вправо)

где длины сторон поперечного сечения волновода, а и любые целые числа. Как и в плоской задаче, для каждой частоты имеется бесконечный дискретный набор нормальных волн. Незатухающими будут те из них, для которых выполняется неравенство . Фазовые скорости этих

превосходят скорость звука в среде. Групповые скорости

напротив, меньше скорости звука. Волньгс одним нулем в индексах соответствуют двухмерным волнам, разбиравшимся выше. Каждую нормальную волну можно представить в виде суперпозиции четырех плоских бегущих волн:

каждая из которых переходит поочередно в остальные при последовательных отражениях от стенок волновода; после четырех отражений снова получается исходная плоская волна. Обобщение сказанного на случай мягких стенок или стенок,

характеризующихся нормальной проводимостью, затруднений не представляет.

Легко обобщить на случай трехмерных нормальных волн в прямоугольном волноводе и задачу об излучении нормальных волн сторонними воздействиями, распределенными по сечению волновода. Пусть, например, в сечении задано распределение сторонних давлений . Разложение в ряд Фурье напишем в виде

где

Здесь

Тогда поле, создаваемое в правом полуволноводе сторонними давлениями, можно записать в виде следующей суперпозиции нормальных волн:

Аналогично при задании сторонних х-компонент скорости на сечении в виде некоторого распределения найдем поле в волноводе в виде

где