§ 146. Твердые волноводы

Подобно жидким слоям и трубам, твердые пластины и стержни ведут себя как волноводы: в них также без изменений могут распространяться только гармонические волны определенных типов — нормальные волны. Но в твердой среде, в отличие от жидкости, распространяются не только продольные, но и поперечные волны; кроме того, граничные условия для твердого тела сложнее, чем для жидкостей. Поэтому в твердом волноводе разнообразие нормальных волн больше, а сами эти волны образуют более сложные волновые поля, чем нормальные волны в жидком волноводе.

Мы рассмотрим только волноводы в виде слоя; при расчете удобно плоскость совместить со средней плоскостью слоя. Ось х расположим вдоль направления распространения нормальной волны. Толщину волновода обозначим через Ограничимся случаем свободных стенок.

Один из типов нормальных волн в твердом волноводе похож на волны в жидком волноводе: это — нормальные волны, образованные каждая двумя поперечными плоскими волнами, поляризованными параллельно границам волновода. Смещения частиц в таких волнах происходят параллельно оси у и от координаты у не зависят. Граничные условия — обращение в нуль напряжений Непосредственной проверкой легко установить, что нормальные волны этого типа можно записать так:

или

где при условии или соответственно целое число). Критические частоты получатся из соотношений соответственно.

Распределение смещений по толщине волновода синусоидальное, причем по высоте укладывается целое число полуволн. Набор нормальных волн получается такой же, как для жидкого слоя со свободными стенками, но роль длины волны звука играет длина сдвиговой волны. Каждая нормальная волна — это

суперпозиция двух сдвиговых волн, каждая из которых переходит в другую при отражении на границе.

Более интересны нормальные волны, в которых смещения частиц лежат в плоскости Такие нормальные волны уже нельзя образовать только одной парой плоских волн, потому что при отражениях от границ слоя продольные волны переходят в поперечные и обратно. Нормальная волна такого типа должна быть образована двумя парами плоских волн: парой продольных и парой поперечных волн, взаимно переходящих друг в друга при отражениях. На рис. 146.1 показаны волновые векторы всех четырех волн. Согласно закону Снеллиуса компоненты волновых векторов в направлении, параллельном оси волновода, равны у всех четырех плоских волн, составляющих нормальную волну.

Нормальную волну такого типа можно записать через скалярный потенциал и (ввиду того, что движение в такой волне плоское) единственно отличную от нуля у-компоненту векторного потенциала в таком виде:

Рис. 146.1. Волновые векторы четырех плоских волн (две продольные и две поперечные), образующих одну нормальную волну в твердом волноводе.

Так как по оси должны получаться стоячие волны, то должно быть

Все нормальные волны можно разбить на две группы: в одной из них смещения частиц симметричны относительно средней плоскости слоя, т. е. имеют место равенства

а в другой группе смещения антисимметричны:

Симметричные волны можно записать в таком виде:

Антисимметричные волны выразятся аналогичными формулами

Граничные условия — это обращение в нуль напряжений при Из этих условий получим дисперсионное уравнение, т. е. уравнение, связывающее с частотой для каждой нормальной волны; определив , можно будет найти и отношение амплитуд А к В или .

Начнем с волн симметричного типа. Граничные условия найдем, подставляя (146.2) в (141.13) и полагая

Исключая коэффициенты , получим дисперсионное уравнение

При заданной частоте это уравнение имеет бесконечный дискретный набор решений для Для каждой частоты только несколько из первых решений для будут вещественными, т. е. только несколько номеров нормальных волн будут распространяющимися; для других номеров волн чисто мнимое (как в жидких волноводах) или комплексное.

Особенно интересна нулевая волна, т. е. волна, распространяющаяся при любой частоте (критическая частота — нуль). Напомним, что в жидком волноводе со свободными стенками такой волны нет, в твердом же волноводе есть две такие волны (симметричная и антисимметричная). Будем следить за симметричной нулевой волной, начиная с очень малых частот, когда величины и можно считать малыми по сравнению с единицей. Из (146.2) следует, в частности, что при этом распределение продольных смещений по сечению постоянно с точностью до квадрата этих малых величин. В дисперсионном уравнении можно положить приближенно (с той же точностью) Тогда (146.5) примет вид

Отсюда видно, что при вещественном т. е. в распространяющейся волне, величина должна быть чисто мнимой: продольная волна должна быть неоднородной поперек слоя. Подставляя сюда и упрощая, получим

Но модуль Юнга для пластины. Если учесть еще характер деформаций, то ясно, что при малых частотах — это «юнговская» продольная волна в пластине. Пока частота остается малой, скорость этой волны от частоты не зависит. По мере роста частоты скорость монотонно падает и распределение смещений по сечению делается неравномерным. Можно показать, что при увеличении частоты величина также делается чисто мнимой, и асимптотически при больших частотах величины делаются большими по сравнению с единицей. Тогда будет приближенно и дисперсионное уравнение (146.5) приведется к виду

совпадающему с дисперсионным уравнением рэлеевской волны. Следовательно, асимптотически юнговская волна при безграничном увеличении частоты превращается в две рэлеевские волны, бегущие

(синфазно) каждая по своей стороне слоя. Смещения заметны только вблизи границ («скин-слой»), а средняя часть слоя практически покоится.

Поведение следующих номеров нормальных волн более сложно. Без численного расчета удается выяснить только поведение некоторых нормальных волн вблизи критических частот и асимптотическое поведение всех распространяющихся нормальных волн при стремлении частоты к бесконечности.

Так, для тех волн, у которых, как и в жидких волноводах, фазовая скорость обращается в бесконечность на некоторой частоте, можно найти эти «критические» частоты. В самом деле, при этой частоте должно выполняться условие и, следовательно, Подставляя в (146.4), приведем граничные условия к виду

Эти условия удовлетворяются либо при (тогда при этой частоте ), либо при (тогда ).

В первом случае при критической частоте получается стоячая волна поперечного типа с фронтами, параллельными стенкам волновода. Во втором, случае получается волна продольного типа.

Для каждой волны (кроме нулевой) найдется частота, при которой Для волны номера частота определится соотношением откуда При этой частоте и волна состоит из двух сдвиговых волн, бегущих под углом 45° к оси волновода, и имеет фазовую скорость Такую волну можно записать в виде

Еще не доходя до этой частоты, при угле скольжения продольные волны делаются неоднородными и остаются неоднородными при дальнейшем повышении частоты. Асимптотически при всякая распространяющаяся волна! (кроме нулевой) превращается в пару сдвиговых волн, бегущих под углами скольжения, стремящимися к нулю, и в пару неоднородных продольных волн, заметных только вблизи границ. Следовательно, фазовая скорость этих волн убывает, стремясь асимптотически к

Аналогичным образом можно рассмотреть и антисимметричные волны. Для них граничные условия запишутся в соответствии с (146.3) в виде

что приводит после исключения амплитуд к дисперсионному уравнению

Найдем нулевую антисимметричную волну. Для малых частот величины малы и должны быть чисто мнимыми. Если, однако, положить, как и для симметричных волн, то члены, содержащие в дисперсионном уравнении, взаимно сокращаются: это слишком грубое приближение. Поэтому приходится для получения приближенного решения продолжить разложение тангенсов до второго члена:

Тогда дисперсионное уравнение приводится к виду

откуда следует, что решение должно удовлетворять неравенству Считая, что это условие выполнено, и сохраняя только старшие члены по (члены с четвертой степенью ), найдем

Это — известное выражение для волнового числа изгибных волн на пластине. Положительный знак корня соответствует распространяющимся изгибнымволнам, а отрицательный — волнам, экспоненциально затухающим вдоль волновода. Закон дисперсии для изгибных волн простой: при повышении частоты скорость растет пропорционально корню квадратному из частоты. Этот закон роста, однако, нельзя экстраполировать на высокие частоты: по мере того как величина делается не очень малой по сравнению с единицей, рост скорости замедляется и при стремлении частоты к бесконечности нулевая нормальная волна превращается в пару рэлеевских волн, бегущих вдоль верхней и нижней границ волновода. Но, в отличие от случая симметричной нулевой волны, эти рэлеевские волны сдвинуты одна относительно другой на полволны.

Поведение волн высших порядков похоже в целом на поведение симметричных волн. Фазовая скорость обращается в бесконечность или при (тогда при этой частоте и волны рождаются как поперечные), или при (тогда и волны рождаются как продольные). При увеличении частоты скорости всех распространяющихся волн стремятся асимптотически к скорости сдвиговой волны.