§ 55. Анализ формул Френеля

Проанализируем теперь зависимость коэффициентов отражения и прохождения от характеристик сред и от угла скольжения падающей волны. Из формул (54.6) видно, что оба коэффициента меняются монотонно при изменении угла скольжения падающей волны. При нормальном падении снова возвращаемся

к формулам (43.5). Дифференцируя (54.5) по 0, найдем, что при

т. е. коэффициенты отражения и прохождения при нормальном падении имеют экстремальные значения. Из второй формулы (54.6) видно, что этот экстремум при минимум, а при максимум. Коэффициент прохождения не обращается в нуль ни при каком угле скольжения падающей волны, но стремится к нулю при стремлении 0 к нулю («скользящее падение»).

Найдем, при каких условиях обращается нуль коэффициент отражения, т. е. при каких условиях вся звуковая энергия переходит во вторую среду целиком (при этом граничным условиям удастся удовлетворить не тремя волнами, как обычно, а только двумя: падающей и прошедшей). Раньше всего заметим, что за исключением случая нормального падения равенство волновых сопротивлений не является для полного прохождения ни необходимым, ни достаточным условием: необходима, как сейчас увидим, специальная комбинация значений и 0, чтобы осуществить полное прохождение, и не при любых значениях тип вообще есть угол полного прохождения. В самом деле, приравнивая нулю первое из выражений (54.6), найдем, что угол скольжения падающей волны должен для этого удовлетворять уравнению

Отсюда следует, что коэффициент отражения может обратиться в нуль только при условии

т. е. при выполнении одной из пар соотношений

Согласно первому из уравнений (54.4) при угле скольжения, обращающем коэффициент отражения в нуль, должно выполняться условие . Комбинируя его с условием (53.6), найдем, что при полном прохождении волны

Определяемые этими соотношениями углы являются взаимными: если полное прохождение возможно из первой среды во вторую, то оно возможно и из второй среды в первую.

При угле полного прохождения амплитуда давления прошедшей волны равна, согласно первому уравнению (54.1), амплитуде

падающей. Это не значит, что при этом угле скольжения амплитуда прошедшей волны больше, чем при других углах: коэффициент прохождения, как и коэффициент отражения, всегда изменяется монотонно и при продолжает расти при уменьшении 0, а при продолжает убывать.

Из (54.6) видно, что при 1 коэффициент отражения монотонно убывает при уменьшении угла скольжения падающей волны от значения при до значения при . В зависимости от того, будет ли или общий ход коэффициента отражения имеет вид одной или другой из кривых, показанных на рис. 55.1.

Рис. 55.1. Примерный ход зависимости коэффициента отражения от угла скольжения падающей волны при 1.

Рис. 55.2. Примерный ход зависимости коэффициента отражения от угла скольжения падающей волны при Заштрихована «закритическая» область углов, в которой отражение неправильное.

При коэффициент отражения монотонно растет от значения при до значения при критическом угле скольжения. При угле скольжения меньше критического формулы Френеля для волны произвольной формы теряют смысл как для коэффициента отражения, так и для коэффициента прохождения: корень делается мнимым. Это значит, что предположение о правильности отражения, из которого мы исходили при выводе этих формул, не оправдывается для закритических углов а потому и сами понятия коэффициентов отражения и прохождения оказываются здесь неприменимыми. При угле скольжения, в точности равном критическому, отражение еще остается правильным: угол скольжения прошедшей волны обращается в нуль и она бежит параллельно границе сред. При этом угле коэффициент отражения равен как при отражении от абсолютно жесткой стенки (действительно,

нормальные скорости частиц на границе равны при этом нулю), а коэффициент прохождения обращается в 2.

Общий ход коэффициента отражения при для случаев показан на рис. 55.2.

Для отражения звука на границе воздух—вода критический угол скольжения равен примерно 77°.

Невозможность правильного отражения при закритических углах скольжения ясна из кинематической картины, приводящей к закону Снеллиуса. При критическом угле медленность следа прошедшей волны достигает наибольшего значения: вектор медленности во второй среде параллелен границе (рис. 55.3).

При дальнейшем уменьшении угла скольжения проекция медленности падающей волны еще увеличивается, а для прошедшей волны дальнейшее увеличение проекции медленности уже невозможно.

Рис. 55.3. Расположение векторов медленности падающей, отраженной и прошедшей волн при критическом угле скольжения падающей волны.

Отметим интересный случай равенства скоростей звука в обеих средах Тогда волна переходит во вторую среду, не меняя угла скольжения, а коэффициенты отражения и прохождения оказываются независящими от угла скольжения:

В качестве примера таких сред укажем на ртуть и воду.

Формулы Френеля можно написать и через углы падения преломления. Например, формулы (54.4) примут вид

Аналогично случаю нормального падения (§ 43) можно найти допплеровский сдвиг частот при отражении и прохождении на движущейся границе и для наклонного падения.

При угле скольжения падающей волны 0 частоты отраженной и прошедшей волн оказываются, как легко видеть, равными соответственно

Как и в случае нормального падения, величины коэффициентов отражения и прохождения остаются при этом такими же, как и при неподвижной границе раздела.

Выясним, при каких условиях отражение мало при наклонном падении волны на границу двух сред. Легко видеть, что близости волновых сопротивлений сред, как это было при нормальном падении, в этом случае недостаточно и требуется малое различие как плотностей, так и скоростей звука в отдельности. Если , то во всяком случае должно быть . Оказывается, однако, что и этих требований иногда недостаточно. В самом деле, пренебрегая величиной по сравнению с можем представить, согласно (54.5), коэффициент отражения в виде

Для того чтобы коэффициент отражения был мал по сравнению с единицей, необходимо, таким образом, чтобы одновременно выполнялись условия . Тогда приближенно

Таким образом, ограничение на изменение коэффициента преломления более жесткое, чем для отношения плотностей, и, кроме того, усиливается по мере уменьшения угла скольжения волны.