§ 117. Затухание звука в результате поглощения

Неподвижные идеальные и реальные жидкости неразличимы по своим механическим свойствам: и в тех и в других касательных напряжений нет, а давление зависит только от степени сжатия среды. В движущихся идеальных жидкостях давление так же зависит от степени сжатия, как и при покое, и касательных напряжений по-прежнему нет. В реальной движущейся жидкости давление зависит от степени сжатия по-другому, чем в покоящейся; кроме того, в ней появляются дополнительные внутренние напряжения (как нормальные, так и касательные), зависящие от движения среды и поглощающие механическую энергию звуковых волн, превращая ее в тепло. Таким образом, в реальных жидкот стях при движении имеются два вида напряжений: упругие, не приводящие к потерям механической энергии, и диссипативные, приводящие к потерям.

Для волн с произвольной зависимостью от времени закон затухания, вызываемого диссипативными напряжениями, очень сложен: по мере распространения волны не только убывает давление, но и меняется форма волны. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только гармонические волны: для них закон убывания всегда, как увидим, экспоненциальный, а форма волны не меняемся. Влияние поглощения на волны другой формы можно найти методом Фурье, если скорость затухания для гармонических волн разных частот известна.

Преобразование звука в тепло при поглощении используют в медицине для прогрева внутренних тканей тела. Как известно, прогрев тканей высокочастотными электрическими полями (УВЧ) наибольший в тканях, наилучшим образом проводящих ток: в них происходит наибольшее поглощение электромагнитной энергии. Оказывается, что наибольшее поглощение звуковых волн происходит в тканях, плохо проводящих ток (сухожилия, надкостница). Поэтому ультразвуковая терапия внутренним прогревом дополняет прогрев УВЧ. Высокие частоты применяют при прогреве потому, что поглощение звука быстро растет с частотой. Кроме того, на высокой частоте легче создавать направленные пучки волн, что важно для точной локализации воздействия звука.

Диссипативные напряжения практически всегда малы по сравнению с давлением. Например, на частоте 3 Мгц диссипативные напряжения в воде составляют всего одну трехсоттысячную от упругого давления. Поэтому диссипативными напряжениями часто можно пренебрегать и считать среду идеальной, как мы и делали до сих пор. Но действие диссипативных напряжений накапливается: ведь рано или поздно вся энергия волны переходит в тепло, и волна полностью затухает. Амплитуда плоской волны в воде на частоте 3 Мгц уменьшается в 10 раз (энергия волны падает в 100 раз) на расстоянии примерно 10 м. Ясно, что при большой длине пробега волны поглощение приходится учитывать.

Вопрос о возможности пренебречь диссипативными напряжениями приходится решать в каждом конкретном случае по-разному. Общего критерия, конечно, нет. Ответ зависит, в частности, от требуемой точности решения задачи. Иногда пренебрежение поглощением приводит к качественным ошибкам: например, входное сопротивление ненагруженного четвертьволнового слоя или полуволнового слоя идеальной жидкости равно соответственно бесконечности и нулю, а при сколь угодно малом поглощении в обоих случаях получается конечная величина. Поглощение звука сильно сказывается в резонансных задачах: установление резонансной амплитуды требует многократного пробега волны взад и вперед по резонирующему объему, что равносильно большому пробегу волны в среде: в этом случае сказывается даже малое поглощение.

Динамические добавки к статическому давлению линейны, т. е. для гармонических волн пропорциональны сжатию, как и само статическое давление. Поэтому принцип суперпозиции можно применять и при наличии поглощения. Пренебрежение диссипативными напряжениями носит другой характер, чем пренебрежение нелинейными силами при линеаризации уравнений акустики: относительная ошибка при отбрасывании нелинейных членов тем меньше, чем меньше амплитуда волны, а относительная погрешность при пренебрежении поглощением от амплитуды волны не зависит.

Покажем, что затухание гармонических волн происходит по экспоненциальному закону. Обозначим плотность звуковой энергии через Е. Мощность, поглощаемая в единице объема среды, равнамощности диссипативных напряженийв этом объеме, т. е. произведению этих напряжений на соответственную скорость деформации объема. В гармонической волне обе величины пропорциональны амплитуде давления. Значит, величина — пропорциональна квадрату амплитуды давления в волне. Но плотность энергии Е в волне также пропорциональна квадрату амплитуды давления. Следовательно, обе величины пропорциональны друг другу. Обозначая коэффициент пропорциональности через 2а, имеем: откуда, интегрируя, находим экспоненциальный закон затухания по времени

где плотность энергии в начальный момент Амплитуда давления также убывает по экспоненциальному закону

По этому же закону убывают скорость частиц, ускорение и другие линейные величины, характеризующие волну.

Величину

называют временным коэффициентом затухания по амплитуде (коэффициент затухания по мощности равен 2а). Его размерность совпадает с размерностью частоты: .

Из (117.2) видно, что за 1 секунду амплитуда волны убывает в раз. За это же время волна пробегает расстояние с. Отсюда следует, что в плоской волне амплитуда убывает с расстоянием по закону

где давление в начальной точке Величину

называют пространственным коэффициентом затухания. Его размерность та же, что у волнового числа:

Временной коэффициент затухания соответствует следующей ситуации: пусть в начальный момент времени во всей среде создана бегущая синусоидальная волна вида Тогда с течением времени волна будет меняться по закону

Тот же коэффициент определяет поведение стоячих волн, заданных в начальный момент, например, в виде

Очевидно, в этих случаях можно считать частоту комплексной и полагать ее равной Комплексной будет и скорость звука

Соотношение между мнимой и вещественной частями частоты вообще зависит от частоты. Если величина а для данной вещественной частоты найдена для плоской волны, то можно пользоваться тем же значением комплексной частоты вместо ее вещественной части и для всех других задач с начальными условиями, например для собственных колебаний сферического объема жидкости в сосуде и т. п.

Пространственный коэффициент затухания соответствует волне, излучаемой заданными гармоническими колебаниями поршня. При амплитуде давления на поршне, расположенном в точке излучаемая волна имеет вид

В этом случае волновое число можно считать комплексным, полагая его равным . Комплексная медленность волны равна в этом случае Этим же комплексным волновым числом можно пользоваться и для других задач об излучении. Например, в поглощающей среде сферически-симметричная волна, излучаемая монополем с объемной скоростью выразится формулой

Коэффициент поглощения звука в средах измеряют либо по пространственному, либо по временному затуханию звука. Выбор метода зависит от величины затухания.

На высоких частотах, когда легко создать плоскую волну, а поглощение звука значительно, определяют пространственный коэффициент затухания. Для этого измеряют амплитуду звука в двух точках на определенном расстоянии вдоль линии распространения звука. Как легко найти из (117.8), пространственный коэффициент затухания следующим образом выражается через амплитуды давления в этих точках и через расстояние между точками:

Этот способ неприменим для низких частот и слабо поглощающих жидкостей, когда для достаточно точного измерения потребовалось бы взять очень большой отрезок В этих случаях измеряют временной коэффициент затухания а резонансных колебаний (стоячих волн) в сосуде. В этом методе приходится учитывать поглощение на стенках при отражениях, чтобы не получить завышенного результата измерения коэффициента поглощения.