§ 120. Расчет коэффициентов поглощения звука для различных механизмов поглощения

Начнем со случая внешнего трения — воздействия на частицы среды силы, направленной противоположно скорости частицы, а по величине пропорциональной этой скорости. В этой задаче можно считать, что к единичному объему среды приложена сила , где скорость объема, а коэффициент трения. Силу можно рассматривать как градиент, взятый с обратным знаком, некоторого давления эффективного диссипативного давления, действующего в среде благодаря трению на стенках. Это добавочное давление связано соотношением значит, для плоской волны окажется

Поскольку скорость синфазна со сжатием и пропорциональна ему, добавочное давление оказывается пропорциональным сжатию

среды, а по фазе отстает от сжатия на четверть периода, т. е. действительно является диссипативным давлением. Поэтому можно пользоваться формулами предыдущего параграфа: согласно

Замечательно, что при внешнем трении коэффициент затухания не зависит от частоты. Значит, не только гармоническая волна, но и волна любого вида распространяется в среде, испытывающей только внешнее трение, без изменения формы, а давление в ней убывает при распространении по экспоненциальному закону.

Рассмотрим теперь затухание звука, вызываемое вязкостью среды. Для плоской волны, бегущей вдоль оси отлична от нуля только одна из производных компонент скорости, входящих в (118.1), а именно При таком движении среды совершает работу только одна из компонент тензора напряжений, а именно причем

Но в данном случае величина равна дивергенции скорости, так что Следовательно, согласно (119.4),

Величина и есть эквивалентное диссипативное давление. Отсюда, переходя к амплитудным значениям, найдем по формуле (119.3) коэффициент поглощения звука:

Обратим внимание на получившуюся квадратичную частотную зависимость коэффициента поглощения («нормальное поглощение»). Эта зависимость приводит к тому, что при распространении в реальной среде в сложном звуке исчезают высшие гармоники, в то время как низшие частоты распространяются со сравнительно малым затуханием. Например, в большом концертном зале ясно ощущается обеднение тембра скрипки (сравнительно высокочастотный музыкальный инструмент), если перейти из первых рядов партера на галерку.

Коэффициент затухания оказался обратно пропорциональным, плотности. Это объясняется тем, что энергия в звуковой волне пропорциональна плотности среды, в то время как вязкие силы и,

следовательно, работа диссипативных сил непосредственно от плотности не зависят. В свободной атмосфере плотность воздуха быстро убывает при увеличении высоты над землей, в то время как вязкость остается неизменной. Поэтому на большой высоте поглощение звука велико и звук затухает сравнительно быстро.

Рассмотрим теперь термические механизмы поглощения звука. И теплоизлучение, и теплопроводность — это выравнивание «адиабатических» температурных изменений, возникающих при сжатиях и разрежениях.

При полном выравнивании температур, т. е. при [изотермическом распространении звука, поглощение отсутствовало бы и скорость звука имела бы ньютоново значение где изотермическая сжимаемость. При полном отсутствии выравнивания — адиабатический процесс — поглощения также не было бы, а скорость звука имела бы лапласово значение В действительности температура выравнивается частично и поэтому поглощение всегда имеется.

Для механизма теплоизлучения при низких частотах скорость звука будет стремиться к значению а при высоких — к В самом деле, так как поток тепла меняет свое направление каждые полпериода, то выравнивание температур путем излучения успевает произойти тем в большей степени, чем больше период колебания. Более сложно обстоит дело с теплопроводностью: здесь играет роль не только период колебания, определяющий время, в течение которого происходит выравнивание температур, но и длина волны, определяющая пространственный масштаб неравномерности выравнивающихся температур. Успевает или не успевает выровняться температура за половину периода — определится соотношением между длиной волны звука и длиной тепловой волны при данной частоте. Пока волновое число тепловой волны велико по сравнению с волновым числом для звука, выравнивание температур мало и процесс идет практически адиабатически (лапласова скорость звука). При обратном соотношении волновых чисел процесс близок к изотермическому (ньютонова скорость звука). Но волновое число звуковых волн пропорционально частоте, а волновое число тепловых волн пропорционально корню квадратному из частоты (см. § 19). Поэтому при низких частотах распространение звука происходит с лапласовой скоростью, а при высоких частотах — с ньютоновой.

Перейдем к расчетам. Начнем с механизма теплоизлучения. В обычных условиях, например при распространении звука в атмосфере, роль такого теплоизлучения невелика. Важность этого механизма с теоретической стороны заключается в том, что он дает наглядный пример релаксационного процесса, приводящего к затуханию и к дисперсии скорости звука, подчиняющимся характерным законам, одинаковым для всех релаксационных процессов.

Напомним уравнение состояния среды для малых колебаний:

где а — коэффициент термического расширения. Величина есть статическое давление, а слагаемое вещественно, мнимо) — динамическая добавка, обусловливаемая как адиабатическим изменением температуры при сжатиях и разрежениях, так и выравниванием создающихся при этом разностей температур. При в точности изотермическом или адиабатическом процессах было бы Изменение температуры в результате теплоизлучения при постоянном сжатии определяется уравнением

где Т — отклонение температуры данного тела от средней температуры среды, так называемое время релаксации процесса. Интегрируя, найдем: где значение Т в начальный момент времени. Таким образом, физический смысл время, в течение которого данное отклонение температуры тела от средней температуры убывает вследствие теплоизлучения в раз.

При адиабатическом процессе откуда

Значит, при наличии и сжатия, и теплоизлучения температура будет определяться уравнением

Умножая на получим уравнение для динамической добавки к давлению:

Обратимся к гармонической звуковой волне. Вначале рассмотрим предельные случаи «большой» и «малой» Для этого удобно переписать (120.4) в виде

Будем считать частоту большой, если а малой, если При больших частотах температура почти не будет успевать выравниваться, и процесс распространения будет близок

к адиабатическому. Тогда в правой части последнего равенства можно приближенно положить Интегрируя, найдем

Динамическая добавка к давлению, следовательно, равна

Суммарное упругое давление равно эффективная сжимаемость принимает адиабатическоегзначение и, значит, скорость звука лапласова. Так как она соответствует предельно высоким частотам, будем обозначать эту скорость буквой Коэффициент затухания найдем по формуле (119.3), подставляя в нее динамическое значение амплитуды упругого давления:

Замечательно, что коэффициент затухания для высоких частот не зависит от частоты: картина такая же, как и для внешнего трения с эффективным коэффициентом внешнего трения

Теперь рассмотрим случай малых частот — процесс, близкий к изотермическому. Левая часть в уравнении (120.4) мала по сравнению с каждым слагаемым правой части и можно приближенно положить Упругая компонента динамического давления в этом приближении отсутствует, так что скорость звука ньютонова. Так как она соответствует предельно низким частотам, будем обозначать ее буквой Диссипативное давление равно Отсюда находим коэффициент затухания:

Частотный ход затухания на низких частотах — такой же, как и для вязкости, т. е. на низких частотах поглощение звука «нормальное». Действие теплоизлучения можно интерпретировать для низких частот как наличие некоторойобъемной вязкости с эффективным коэффициентом вязкости

Полученные выражения для коэффициентов поглощения и эффективных коэффициентов вязкости удобно выразить через предельные значения скорости В самом деле, Пользуясь этим соотношением, получим для высоких частот:

Эффективный коэффициент внешнего трения равен Для низких частот получим

Эффективный коэффициент объемной вязкости

Последние формулы связывают поглощающие свойства жидкости с «дисперсионным скачком» квадрата скорости при переходе от малых к высоким частотам и с временем релаксации Эффект теплоизлучения приводит к «аномальному» поглощению: квадратичный закон затухания имеет места только на низких частотах, переходя к «насыщению» на высоких, частотах.

Теперь, не ограничиваясь более предельными случаями, выясним, как происходит переход от нормального к аномальному поглощению, т. е. найдем закон изменения поглощения и скорости от частоты во всем диапазоне частот.

Уравнение (120.4) для гармонической волны принимает вид

откуда

Динамическая добавка к упругому давлению оказывается равной

Таким образом, скорость звука при частоте со определится из равенства

Отсюда для волнового числа при данной частоте получим

где Диссипативное давление равно

Согласно (119.3) (причем следует учесть добавку

Из этой формулы непосредственно получаются и предельные значения поглощения для высоких и низких частот, найденные выше.

Рис. 120.1. Универсальный график относительной дисперрии при потерях в результате теплоизлучения и при любом другом релаксационном процессе.

Из уравнения (120.10) найдем относительный скачок квадрата скорости при данной частоте и:

График этой функции показан на рис. 120.1. Это — универсальный график, не зависящий от величины Зависимость коэффициента поглощения от их не удается представить в таком же простом виде. Может оказаться удобным представление

Мы видим, что механизм потерь путем теплоизлучения сопровождается дисперсией скорости звука. Можно доказать, что любой механизм поглощения сопровождается дисперсией. Но, как можно показать, и вязкость, и теплопроводность приводят к дисперсии в той частотной области (высокие частоты), где распространение звука уже прекращается вследствие большого затухания и поэтому практически не наблюдается. В механизме же теплоизлучения и в других релаксационных механизмах затухание может оказаться еще умеренным во всей частотной области, где имеет место заметная дисперсия скорости.

Механизм теплоизлучения — простейший пример целого ряда сходных друг с другом механизмов поглощения — так называемых релаксационных механизмов. Общей чертой всех этих механизмов является то, что динамическая добавка к давлению» при фиксированном сжатии спадает - «релаксирует» с течением времени, например, по экспоненциальному закону

где время релаксации. Изменение же сжатия вызывает пропорциональное изменение динамического давления, так что в акустической волне динамическая добавка к статическому давлению удовлетворяет, как и для теплоизлучения, уравнению

где некоторая константа вещества. Это уравнение совпадает с (120.5), если положить учетом этой замены совпадут и дальнейшие расчеты. В частности, для произвольного релаксационного процесса с экспоненциальным законом релаксации имеют место полученные для релаксационного процесса частного вида (теплоизлучение) формулы (120.8)-(120.14), выражающие дисперсию и поглощение звука через предельные низкочастотные и высокочастотные значения скорости звука и время релаксации; остается в силе и график рис. 120.1.

Рассмотрим, наконец, механизм поглощения, обусловленный теплопроводностью, причем будем считать, что, как это и имеет место в действительности, до самых высоких частот выравнивание температур незначительно: процесс квазиадиабатический. Общее уравнение изменения температуры в этом случае должно учитывать адиабатическое нагревание и эффект теплопроводности при постоянном сжатии. Уравнение теплопроводности для плоской волны

заменяет в этом случае уравнение теплоизлучения. Общее уравнение принимает, следовательно, вид

Так как процесс квазиадиабатичен, то приближенно

откуда, интегрируя и подставляя найдем

Следовательно, вещественная добавка к давлению равна а диссипативное давление равно

Вещественная добавка к давлению получается такого же вида, как при теплоизлучении На высоких частотах; значит, скорость распространения при не слишком высоких частотах лапласова.

Затухание определится все по той же формуле (119.3)

Зависимости затухания от частоты, плотности и скорости звука — такие же, как и для вязкого механизма потерь (см. (120.2)). В этом отношении влияние вязкости и теплопроводности на затухание звука неразличимы. Совместно эти два механизма приводят к суммарному коэффициенту затухания вида

В газах механизмы вязкости и теплопроводности вносят примерно одинаковый вклад в поглощение звука. В жидкостях главную роль играет вязкость; исключением является ртуть, обладающая большой теплопроводностью при сравнительно малой вязкости.

Мы показали, как, пользуясь индикаторными диаграммами, рассчитать коэффициент поглощения гармонической волны. Можно найти коэффициент поглощения и по другому пути, внося в обычную систему акустических уравнений дополнительно диссипативные силы. Оказывается, что это равносильно введению комплексной плотности или комплексной сжимаемости. В самом деле, рассмотрим например случай внешнего трения. Внешнее трение дает дополнительную силу, действующую на частицу, поэтому придется внести дополнительный член в уравнение движения. Рассмотрим для простоты одномерную задачу. Вместо обычного уравнения движения теперь придется написать

Но это уравнение можно переписать в обычном виде, если учесть, что ввести комплексную плотность

Тогда уравнение (120.18) запишется так:

Уравнение формально вернулось к обычному виду. В частности, можно для заданной частоты найти до обычной формуле и волновое число:

В развернутом виде волновое число запишется в виде

Если затухание мало, т. е. мнимая часть волнового числа мала по сравнению с вещественной, то что дает ту же величину затухания (120.1), что и найденная по способу индикаторных диаграмм.

Аналогично, если диссипативные силы связаны не со скоростью, а со сжатием среды, то их действие можно учесть, добавляя мнимую часть к сжимаемости: Это также приведет к появлению мнимой части в волновом числе, если снова формально воспользоваться стандартной формулой для волнового числа и эта мнимая часть снова явится коэффициентом затухания волны.