§ 132. О нелинейном взаимодействии плоских волн, бегущих под углом друг к другу

В § 126 мы видели, что при нелинейном взаимодействии двух плоских волн, бегущих в одном направлении, помимо волн двойной частоты для каждой из гармонических компонент исходных волн появляются еще вековые члены суммарных и разностных частот. Выясним теперь, как обстоит дело с квадратичной поправкой в случае, когда исходные плоские волны бегут под углом друг к другу. Оказывается, что в отсутствие дисперсии волны двойных частот появляются по-прежнему, но волны суммарной

и разностной частот уже не являются вековыми членами в решении.

В. самом деле, применим результаты предыдущего параграфа к сумме волн первого порядка:

где волновые векторы составляющих волн не параллельны. Из (131.5) следует, что сторонние объемные скорости и сторонние силы, зависящие от обеих волн первого порядка, распределены во времени и в пространстве по законам

Таким образом, сторонние воздействия оказываются бегущими волнами, в которых частоты равны арифметической сумме или разности частот волн первого порядка, а волновые векторы равны векторной сумме или разности соответственных волновых векторов. Ясно, что в этом случае фазовые скорости сторонних воздействий не равны скорости свободных волн в среде: волна суммарной частоты бежит быстрее, а волна разностной частоты бежит медленнее звука. Картина возбуждения волн суммарной и разностной частоты получается аналогичной картине в среде с дисперсией скорости (см. § 129): энергия будет то перекачиваться из волны первого порядка в волны суммарной и разностной частоты, то возвращаться обратно в волны первого порядка. Нарастания и убывания волн суммарной и разностной частоты будут носить характер биений, причем чем ближе друг к другу направления волновых векторов исходных волн, тем период биений длиннее и тем точнее картина биений «имитирует» вековые члены. С точки зрения наличия вековых членов можно сказать, что в среде без дисперсии монохроматические волны, бегущие по разным направлениям, не взаимодействуют между собой.

Иначе обстоит дело при взаимодействии ограниченных («коллимированных») пучков волн, бегущих в разных направлениях, например двух монохроматических пучков ультразвука, исходящих из двух разнесенных излучателей и пересекающихся в некоторой ограниченной области взаимодействия. В этом случае сторонние источники можно найти тем же способом, что и при пересечении неограниченных плоских волн, но эти источники оказываются расположенными в некотором ограниченном объеме. Область взаимодействия явится некоторой пространственной антенной для волн суммарной и разностной частот. Создающиеся биения окажутся в этом случае оборванными на границах области взаимодействия, и волны суммарной и разностной амплитуды будут распространяться вне области взаимодействия как свободные волны.

Явление распространения волн суммарных и разностных частот вне области взаимодействия первичных полей первого порядка называют рассеянием звука на звуке. Величина этого рассеяния

зависит, помимо амплитуд исходных пучков и частот исходных волн, еще и от формы области взаимодействия и от угла межд первичными пучками.

Вековые члены суммарной и разностной частоты могут появиться в результате взаимодействия неограниченных плоских волн только при наличии в среде дисперсии скорости звука. Так будет, если волновое число для суммарной или разностной частоты в диспергирующей среде равно соответственно модулю суммы или разности волновых векторов исходных волн. Считая волновой вектор функцией частоты: можем записать соответственные условия так:

или так:

где угол между волновыми векторами исходных волн. Отсюда можно найти те углы 0, при которых появляются вековые члены суммарной и разностной частоты. Из последней формулы получаются следующие условия существования таких углов:

Эти неравенства наверное будут выполнены для любых частот, если групповая скорость больше фазовой для любой частоты, и наверное не будут выполнены при обратном соотношении между этими скоростями.